Regra de três
Regra de três é um assunto bastante cobrado em vestibulares, concursos públicos e outros exames. Mas, o que é regra de três?
Chamamos de regra de três os problemas nos quais são dadas uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.
Vamos estudar dois tipos: a regra de três simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.
Regra de três simples
Na regra de três simples são dados dois valores de uma grandeza A e apenas um valor da grandeza B. O segundo valor da grandeza B é o que deveremos descobrir.
Exemplo 1
Márcia comprou 6 m de tecido por R$15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m?
Inicialmente, vamos dispor os dados do problema numa tabela.
| Comprimento (m) | Preço (R$) |
|---|---|
| 6 | 15 |
| 8 | x |
Conforme a definição acima, o problema nos deu dois dados da grandeza comprimento e apenas um da grandeza preço.
Agora vamos analisar estas duas grandezas. O que acontece com a grandeza preço quando variamos a grandeza comprimento? Note que aumentando a quantidade de metros de tecido aumentamos o preço a ser pago. Logo, as grandezas comprimento e preço são diretamente proporcionais.
| ↓ |
|
= |
|
↓ |
Preste atenção no sentido das setas. As duas grandezas apresentam as setas apontando no mesmo sentido, isso indica que são diretamente proporcionais. Agora é só realizar a multiplicação cruzada.
6x = 8 • 15
6x = 120
x = 20
Logo, o preço procurado é R$20,00.
Exemplo 2
Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?
Vamos dispor os dados do problema numa tabela.
| Operários | Dias |
|---|---|
| 6 | 10 |
| 20 | x |
A segunda informação da grandeza dias é o que estamos procurando. Então, o que acontecerá com a grandeza dias quando aumentamos o número de operários? Note que, quanto mais operários forem contratados mais rápido a obra será finalizada. Portanto, quando aumenta o número de operários o número de dias diminui. Logo, as grandezas Operários e Dias são inversamente proporcionais.
| ↑ |
|
= |
|
↓ |
Note que o antecedente e o consequente da grandeza operários foram invertidos. Observe também o sentido das setas. Agora é só realizar a multiplicação cruzada.
20x = 6 • 10
20x = 60
x = 3
Finalmente, serão gastos 3 dias para finalizar a obra empregando-se 20 operários.
Regra de três composta
Se na regra de três simples são dadas duas grandezas, na regra de três composta o número de grandezas é superior a isso. Nesta modalidade, de cada grandeza são dados dois valores, com exceção de uma delas, da qual é dado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.
Exemplo 1
Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 minutos, em que tempo 7 rotativas, iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares?
Vamos dispor os dados do problema na tabela abaixo.
| Exemplares | Rotativas | Tempo (min) |
|---|---|---|
| 87.500 | 5 | 56 |
| 350.000 | 7 | x |
Note que da grandeza exemplares e rotativas foi dado dois valores, porém da grandeza tempo foi dado apenas um valor. O outro deveremos encontrar. Então, vamos relacionar as grandezas.
| ↓ |
|
↑ |
|
|
↓ |
Perceba que, quando aumentamos a quantidade de exemplares a serem impressos aumenta também o tempo para imprimí-los. Desta forma, as grandezas exemplares e tempo são diretamente proporcionais, veja o sentido das setas. Por outro lado, quando aumentamos o número de rotativas o tempo diminui. Logo, as grandezas rotativas e tempo são inversamente proporcionais.
|
= |
|
x = 160 min ou 2h40min
Exemplo 2
Quinze operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia?
Novamente, vamos dispor os dados do problema numa tabela.
| Operários | Jornada | Muro (m) | Dias |
|---|---|---|---|
| 15 | 9 | 36 | 16 |
| 18 | 8 | 60 | x |
Nesta problema temos quatro grandezas relacionadas. Vamos relacionar cada uma delas com a grandeza dias.
| ↑ |
|
↑ |
|
↓ |
|
↓ |
|
Quando aumentamos a quantidade de operários diminuimos o número de dias. Portanto, as grandezas operários e dias são inversamente proporcionais. O mesmo acontece quando diminuimos a jornada de trabalho. Diminuindo a jornada de trabalho o número de dias aumenta. Por outro lado, quando aumentamos a quantidade de metros de muro aumentamos também o número de dias.Logo, as grandezas metros de muro e dias são diretamente proporcionais.
Calculando o valor de x, vem:
|
= |
|
x = 25 dias.