Relações
Par ordenado
O conhecimento de relações vai exigir de nós a noção prévia de par ordenado. Par ordenado é uma estrutura da forma (a,b) onde a é o primeiro elemento do par e b é o segundo elemento. Além disso possui a seguinte característica:
É possível ainda termos pares ordenados (a,a), (b,b), isto é, com ambos elementos iguais. Vale lembrar também que nos pares ordenados a ordem dos elementos faz diferença, portanto (a,b) ≠ (b,a).
Produto cartesiano
Para entender esse conceito vamos definir a seguinte tarefa: Dados dois conjuntos A e B forme todos os pares ordenados possíveis de maneira que o primeiro elemento do par pertença ao conjunto A e o segundo elemento do par pertença ao conjunto B. Simbolicamente, queremos dizer: AxB = {(a,b)/a ∈ A e b ∈ B}
Exemplo 1
Seja o conjunto A = {5,6,7} e B = {p,q}. Faça o produto cartesiano AxB.
Podemos representar o produto cartesiano de 5 maneiras diferentes: conjunto de pares ordenados, linguagem coloquial, linguagem simbólica, tabela de dupla entrada, diagrama sagital (de Venn) e plano cartesiano. Vejamos algumas delas.
• Conjunto de pares ordenados
AxB = {(5,p);(5,q);(6,p);(6,q);(7,p);(7,q)}
• Linguagem simbólica
AxB = {(x,y)/x ∈ A e y ∈ B}
• Tabela de dupla entrada
| B | p | q |
| A | ||
| 5 | (5,p) | (5,q) |
| 6 | (6,p) | (6,q) |
| 7 | (7,p) | (7,q) |
• Diagrama sagital
• Plano cartesiano
A Matemática reflete uma necessidade constante de compreender e construir relações. Em nosso dia a dia fazemos comparações de grandezas ou características. Comparamos preços de mercadorias, idade e parentesco entre pessoas, áreas e volumes, entre outros. Quando fazemos isso estamos relacionando os objetos.
Relação é um subconjunto do produto cartesiano, sendo este o conjunto de todos os pares ordenados que podemos estabelecer entre conjuntos.
Consideremos duas lojas A e B e comparemos os preços dos seguintes produtos: perfume, sabonete e shampoo, ao realizar uma compra. Podemos relacionar os preços desses produtos nas lojas A e B através de “… é mais caro na …“. Por exemplo, no caso do shampoo ser mais caro na loja A, indicaremos este fato pelo par ordenado (shampoo,A).
Podemos ainda usar como exemplo a relação “…é pai de…” entre duas pessoas da mesma família. João é pai de Marcelo, logo o par ordenado será (João,Marcelo).
Já vimos que os elementos de uma relação R do conjunto A no conjunto B são pares ordenados. O primeiro elemento do par ordenado pertence ao domínio e o segundo elemento pertence à imagem. Dizemos que o segundo elemento é a imagem do primeiro elemento pela relação R do conjunto A no conjunto B.
Exemplo 1
Consideremos os conjuntos D(15) e D(45) respectivamente o conjunto dos divisores de 15 e o conjunto dos divisores de 45. Seja R a relação entre D(15) e D(45) definida pela sentença y = 3x. Enumere os elementos dessa relação.
D(15) = {1,3,5,15}
D(45) = {1,3,5,9,15,45}
T = {(1,3),(3,9),(5,15),(15,45)}
Relação inversa
Dada uma relação R de um conjunto A em um conjunto B, chama-se relação inversa de R e indica-se R-1 o conjunto de pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par.
R = {(x,y) ∈ AxB / x R y} e R-1 = {(y,x) ∈ BxA / (x,y) ∈ R}
Por exemplo: Considere a relação T definida no conjunto dos reais por “y é o dobro de x” e representada por T = {(x,y) ∈ ℝxℝ / y = 2x}. A relação inversa de T pode ser representada por T-1 = {(y,x) ∈ ℝxℝ / y = 2x} ou T-1 = {(x,y) ∈ ℝxℝ / y = x/2}