Veja as razões abaixo:
Vemos que todas são iguais a 4. Portanto, podemos escrever:
Essa expressão recebe o nome de série de razões iguais ou proporção múltipla.
De forma geral, ficaria:
Sendo k o valor das razões acima, temos:
Perceba que a = bk, c = dk, … ,m = nk
Somando membro a membro essas igualdades, temos:
a + c + … + m = bk + ck + … + nk
Colocando k em evidência, temos:
a + c + … + m = k(b + c + … + n)
portanto:
| a + c + … + m |
| b + c + … + n |
|
= k |
Desta forma, podemos escrever:
| a + c + … + m |
| b + c + … + n |
|
= |
|
= |
… = |
|
E finalmente:
Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente.
Exemplo 1
Calcule x, y e z, sabendo que
e x + y + z = 420.
Vimos que
| a + c + … + m |
| b + c + … + n |
|
= |
|
= |
… = |
|
Então:
Portanto temos:
Encontrando o valor de x:
35 • x = 420 • 9
35 • x = 3780
x = 108
Encontrando o valor de y:
35 • y = 420 • 11
35 • y = 4620
x = 132
Encontrando o valor de z:
35 • z = 420 • 15
35 • z = 6300
z = 180
Exemplo 2
Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é 2/3.
Vamos chamar os dois números desconhecidos de x e y.
Dados:
x + y = 60
A razão entre eles é 2/3
Vamos alternar os meios dessa proporção, ficando assim:
Agora podemos aplicar a propriedade:
Encontrando o valor de x:
5 • x = 60 • 2
5 • x = 120
x = 24
Encontrando o valor de y:
5 • y = 60 • 3
5 • y = 180
y = 36
