Abaixo temos um sistema linear genérico.
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| a11x1 + a12x2 + … + a1nxn |
= b1 |
| a21x1 + a22x2 + … + a2nxn |
= b2 |
| … + … + … + … + … + … |
… |
| … + … + … + … + … + … |
… |
| am1x1 + am2x2 + … + amnxn |
= bn |
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Quando os termos independentes do sistema são nulos dizemos que o sistema é homogêneo. Um sistema homogêneo genérico possui a seguinte estrutura.
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| a11x1 + a12x2 + … + a1nxn |
= 0 |
| a21x1 + a22x2 + … + a2nxn |
= 0 |
| … + … + … + … + … + … |
… |
| … + … + … + … + … + … |
… |
| am1x1 + am2x2 + … + amnxn |
= 0 |
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Nota:
- Um sistema homogêneo será sempre possível, já que possui pelo menos a solução trivial (0,0,…,0).
- Caso o sistema possua apenas a solução trivial ele é dito possível e determinado.
- Caso o sistema possua outras soluções além da trivial, ele é dito possível e indeterminado.
Exemplo
Classifique e resolva o sistema abaixo:
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| x – y + 2z |
= 0 |
| 6x – 5y + 5z |
= 0 |
| -4x – 3y + z |
= 0 |
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Vamos construir a matriz dos coeficientes do sistema.
Agora faremos as operações de linhas.
L2 ¬ L2 + (-6L1).
| L2: |
6 |
-5 |
5 |
| -6L1: |
-6 |
6 |
-12 |
|
0 |
1 |
-7 |
L3 ¬ L3 + 4L1.
| L3: |
-4 |
-3 |
1 |
| 4L1: |
4 |
-4 |
8 |
|
0 |
-7 |
9 |
A nova matriz dos coeficientes fica assim:
Até o momento eliminamos a variável x da primeira e segunda linha. Vamos continuar com o escalonamento e eliminar a variável y da terceira linha.
L3 ¬ L3 + 7L2.
| L3: |
0 |
-7 |
9 |
| 7L2: |
0 |
7 |
-49 |
|
0 |
0 |
-40 |
Agora com a matriz escalonada do sistema é possível escrevermos o sistema homogêneo escalonado.
O sistema escalonado fica assim:
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| x – y + 2z |
= 0 |
| y – 7z |
= 0 |
| -40z |
= 0 |
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Então, para resolvermos o sistema começamos pela última equação.
-40z = 0
z = 0
Substituimos o valor de z na segunda equação.
y – 7z = 0
y – 7(0) = 0
y = 0
Substituindo os valores de y e z na primeira equação vem:
x – y + 2z = 0
x – 0 + 2(0) = 0
x = 0
Logo, o sistema admite apenas a solução trivial S ={(0,0,0)} sendo classificado como SPD.
