Observe a P.G. genérica abaixo:
(a1, a2, a3, …, an)
Como obter a soma dos termos desta sequência?
a1 + a2 + a3, + … + an = ? onde q ≠ 1.
(I) Sn = a1 + a1q + a1q² + … + a1qn – 1
(II) qSn = a1q + a1q² + a1q³ + … + a1qn – 1 + a1qn
Fazendo (II) – (I) teremos:
qSn – Sn = – a1 + a1qn
Sn(q – 1) = a1(qn – 1)
Exemplo 1
Quantos termos da P.G. (2, 6, 18,…) devem ser considerados a fim de que a soma resulte 19.682?
Dados do problema:
Sn = 19.682
a1 = 2
q = 6 ÷ 2 = 3
Aplicando os dados na fórmula da soma dos n termos de uma P.G. teremos:
19.682 = 3n – 1
19.683 = 3n
Fatorando o número 19.683 encontraremos 39.
39 = 3n
Logo, n = 9
Exemplo 2
Um indivíduo contraiu uma dívida e precisou pagá-la em oito prestações assim determinadas:
1ª: R$60,00; 2ª: R$90,00; 3ª: R$135,00; e assim por diante. Qual o valor total da dívida?
O total da dívida pode ser representada como a soma dos termos da P.G. abaixo:
60 + 90 + 135 + … + a8 = Sn
|
|
= |
| 60((90/60)8 – 1) |
| (90/60) – 1 |
|
S8 = 2.955,46875
O total da dívida é de aproximadamente R$ 2.956,00.
Exemplo 3
Num apiário há seis viveiros. O número de abelhas em cada viveiro está indicado na tabela abaixo:
| |
Machos |
Fêmeas |
| 1º viveiro |
3 |
2 |
| 2º viveiro |
6 |
6 |
| 3º viveiro |
12 |
18 |
| ⁝ |
⁝ |
⁝ |
Supondo que os valores variam segundo progressões geométricas, quantas abelhas há, ao todo, no apiário?
Como há seis viveiros, a tabela vai até a sexta linha. As colunas Machos e Fêmeas da tabela representam, cada uma, uma P.G.
Machos → (3, 6, 12, …, a6)
Fêmeas → (2, 6, 18, …, a6)
O total de abelhas no apiário é a soma (Sn(machos) + Sn(fêmeas)).
Sn(machos) → 3 + 6 + 12 + … + a6
S6 = 3(26 – 1)
S6 = 189
Sn(fêmeas) → 2 + 6 + 18 + … + a6
S6 = 728
Total de abelhas no apiário = Sn(machos) + Sn(fêmeas)
Total de abelhas no apiário = 189 + 728
Total de abelhas no apiário = 917
