Soma dos termos de uma P.A. finita
(13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90)
A sequência acima é uma P.A. finita de razão 7 e representa a quantia ganha por um jogador em cada uma das 12 rodadas. Daí surge a pergunta: quanto o jogador ganhou no total?
Para sabermos isso é simples, basta somar todos os termos dessa sequência 13 + 20 + 27 + … + 90. Acompanhe o esquema abaixo:
| (I) | S | = | 13 | + | 20 | + | 27 | + | … | + | 76 | + | 83 | + | 90 |
| (II) | S | = | 90 | + | 83 | + | 76 | + | … | + | 27 | + | 20 | + | 13 |
| 2S | = | 103 | + | 103 | + | … | + | 103 | + | 103 |
Assim, 2S = 12 * 103
O número 12 se refere a quantidade de termos da P.A..
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= |
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Note que precisamos apenas do 1º termo, do último e da quantidade termos da sequência.
Vamos repetir o processo para uma sequência genérica de razão r.
(a1, a2, a3, … , an – 2, an – 1, an)
| (I) | Sn | = | a1 | + | a1 + r | + | a1 + 2r | + | … | + | an – 2r | + | an – r | + | an |
| (II) | Sn | = | an | + | an – r | + | an – 2r | + | … | + | a1 + 2r | + | a1 + r | + | a1 |
| 2S | = | (a1 + an) | + | (a1 + an) | + | … | + | (a1 + an) |
Portanto, 2Sn = n * (a1 + an) ou
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= |
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Exemplo 1
Resolver a equação 1 + 7 + … + x = 280, sabendo-se que os termos do 1º membro formam uma P.A.
Dados do problema:
a1 = 1
an = x
r = 7 – 1 = 6
Sn = 280
an = a1 + (n – 1)r
x = 1 + (n – 1)6
x = 1 + 6n – 6
x = 6n – 5
x + 5 = 6n
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= |
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= |
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= |
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Efetuando as multiplicações e fazendo as passagens adequadas chegamos em:
x² + 6x – 3.355 = 0
Resolvendo a equação temos:
Δ = 36 + 13.420 = 13.456
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= |
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x’ = 55
x” = -61
Como a P.A. é crescente x = 55.
Exemplo 2
O dono de uma fábrica pretende iniciar a produção com 2.000 unidades mensais e, a cada mês, produzir 175 unidades a mais. Mantidas essas condições, em um ano quantas unidades a fábrica terá produzido no total?
A partir dos dados do problema podemos construir a sequência (2.000, 2.175, 2.350, …). Foi informado que a razão de termo para o seguinte é de 175. Visto que, um ano possui 12 meses o último termo desta sequência é a12.
a12 = a1 + 11r
a12 = 2.000 + 11(175)
a12 = 3.925
Encontrar quantas unidades a fábrica produziu em um ano é encontrar S12.
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= |
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= |
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S12 = 5.925*6
S12 = 35.550
Portanto, ao final de um ano a fábrica terá produzido 35.550 unidades do produto.
Exemplo 3
Suponha que, em um certo mês, o número de queixas diárias registradas em um órgão de defesa do consumidor aumente segundo uma P.A. Sabendo que nos dez primeiros dias houve 245 reclamações e nos dez dias seguintes houve mais 745 reclamações, determine a sequência do número de queixas naquele mês.
Nos dez primeiros dias houve 245 reclamações. Essa é a primeira série de termos de devemos analisar.
(I) a1 + (a1 + r) + … (a1 + 9r) = 245
Nos dez dias seguintes houve mais 745 reclamações.
(II) (a1 + 10r) + (a1 + 11r) + … (a1 + 19r) = 745
de (I) temos:
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= |
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245 = (2a1 + 9r)5
2a1 + 9r = 49
de (II) temos:
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= |
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745 = (2a1 + 29r)5
2a1 + 29r = 149
A partir das equações encontradas podemos formar o sistema:
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Resolvendo o sistema temos:
100 = 20r → r = 5
Substituindo o valor de r em 2a1 + 9r = 49 temos:
2a1 + 9(5) = 49
2a1 = 4
a1 = 2
Logo, a sequência do número de queixas é (2, 7, 12, 17, …).