Somatório
Sejam os números a1, a2, a3, … , an com n > 1. A soma destes n elementos é representada assim:
a1 + a2 + a3 + … + an
Podemos abreviar a forma de escrever esta soma usando o somatório. Veja:
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n
∑
i = 1
|
ai |
Lê-se: Somatório de ai de 1 a n.
As letras i e n são chamadas de limite inferior e limite superior, respectivamente. A letra grega ∑ (sigma) é aqui chamada de somatório.
O número de parcelas de um somatório é igual a diferença entre os limites superior e inferior mais uma unidade.
De forma geral:
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n
∑
i = m
|
ai | = | am + am + 1 + am + 2 + … + an |
Exemplo 1
| Calcule a soma: |
4
∑
i = 1
|
(3i + 1) |
|
4
∑
i = 1
|
(3i + 1) | é igual a: |
(3(1) + 1) + (3(2) + 1) + (3(3) + 1) + (3(4) + 1) = 34
Exemplo 2
| Calcule a soma: |
4
∑
i = 0
|
|
|
4
∑
i = 0
|
|
é igual a: |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
Se recorrermos ao triângulo de Pascal e procurarmos na linha 4 veremos que o resultado do somatório é o mesmo que somar os valores da linha 4 do triângulo, ou seja, 24 = 16.
Propriedades dos somatórios
Propriedade 1:
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n
∑
i = 1
|
(ai + bi) | = |
n
∑
i = 1
|
ai | + |
n
∑
i = 1
|
bi |
Demonstração
|
n
∑
i = 1
|
(ai + bi) | é igual a: |
(a1 + b1) + (a2 + b2) + … + (an + bn)
(a1 + a2 + … + an) + (b1 + b2 + … + bn)
|
n
∑
i = 1
|
ai | + |
n
∑
i = 1
|
bi |
Propriedade 2:
|
n
∑
i = 1
|
a | = | na |
Demonstração
Seja ai = a, com i = 1, 2, 3, … , n. Então, temos:
|
n
∑
i = 1
|
ai | = |
n
∑
i = 1
|
a |
a1 + a2 + a3 + … + an = a + a + a + … + a = na.
Propriedade 3:
|
n
∑
i = 1
|
(ai + a) | = |
n
∑
i = 1
|
ai + na |
Demonstração
|
n
∑
i = 1
|
(ai + a) | = |
n
∑
i = 1
|
ai | + |
n
∑
i = 1
|
a | → |
|
n
∑
i = 1
|
ai + na |
Propriedade 4:
|
n
∑
i = 1
|
kai | = | k |
n
∑
i = 1
|
ai |
Demonstração
|
n
∑
i = 1
|
kai | = | ka1 + ka2 + … + kan |
ka1 + ka2 + … + kan = k(a1 + a2 + … + an)
| k |
n
∑
i = 1
|
ai |