Subgrupos
Seja (G,*) um grupo e suponha (H,*) um subgrupo de G. Para que H seja subgrupo de G é necessário cumprir certos requisitos.
- ∀ x, y ∈ H, tem-se que x * y ∈ H
- ∀ b ∈ H, ∃ b’ ∈ H; b’ ∈ H
Portanto, para que um grupo H seja subgrupo de um grupo G é necessário que:
– Ao tomarmos dois elementos quaisquer de H e operá-los entre si o resultado ainda estará em H.
– Para todo elemento de H existe o seu simétrico.
Dado (G,*) um grupo, seja (R,*) e (S,*) subgrupos de G, logo R ∩ S é um subgrupo de G. Veja como é fácil perceber.
Dados a ∈ R e a ∈ S, visto que o elemento a pertence a ambos os conjuntos então pertencerá a R ∩ S.
R ∪ S não é subgrupo de G.
Exemplos
1) Sabendo que (Z,+) é um grupo, considere o subconjunto H = {2n / n ∈ Z}. H também pode ser representado como 2Z. Verifique se H é subgrupo de (Z,+).
Para isso vamos verificar duas propriedades:
1. Dados dois elementos de H, u e v, sendo u = 2n e v = 2m, com n e m ∈ Z. Ao operarmos esses dois elementos entre si o resultado deverá pertencer ao subconjunto H.
u + v = 2n + 2m = 2(n + m)
fazendo n + m = q, tem-se u + v = 2q, visto que q ∈ Z, logo 2q = u + v ∈ H. (Comprovada a propriedade do fechamento)
2. Dado um elemento qualquer b ∈ H, ∃ b’ ∈ H.
se b = 2n com n ∈ Z, então b’ = -2n pela operação (+), logo b’ ∈ H.
Fica assim comprovado que H = 2Z é um subgrupo de (Z,+).