Sucessão ou sequência
Sucessões ou sequências fazem parte do nosso dia a dia. Por exemplo: você consegue dizer rapidamente qual é o próximo item da sequência abaixo?
Janeiro, fevereiro, março, abril, …
Além disso, numa fila com cinco pessoas, é simples saber a posição de cada indivíduo. Caso você entre na fila, você será a sexta pessoa a ser atendida.
Note que uma sequência contém as seguintes propriedades: ordem e posição.
A sequência abaixo se refere aos marcos quilométricos em que deverão ser instaladas cabines telefônicas.
(3, 8, 13, 18, 23, …, 88)
Esta mesma sequência pode ser escrita de forma genérica assim: (a1, a2, a3, a4, a5, …, an).
Cada elemento da sequência está indexado. O primeiro termo, a1, é igual a 3, o segundo termo, a2, é igual a 8; já o último termo, an, é igual a 88.
A sucessão de números que estamos trabalhando é finita; porém, podemos nos deparar com sucessões infinitas, como é o caso da sequência de números pares (2, 4, 6, 8, …).
Em nosso estudo, os elementos das sequências serão sempre números reais, portanto, sequência é qualquer função ƒ cujo domínio é ℕ*.
Assim, são exemplos de sequências:
f:ℕ → ℝ definida por f(n) = 2n + 1
g:ℕ → ℝ definida por
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= |
|
Substituindo n pelos números naturais, veremos que:
f(n) → (3, 5, 7, …, 21, …) e
g(n) →
|
Note que f(n) é uma sequência em ℤ e g(n), uma sequência em ℚ.
Uma sequência pode ser definida de duas formas:
• Pelo termo geral
Neste caso, a sequência é definida por uma fórmula fechada que retorna o valor de cada termo an em função de sua posição n na sequência.
Exemplo
Por meio da lei de formação
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= |
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podemos obter qualquer termo da sequência.
|
Se quisermos obter, de imediato, o terceiro termo da sequência, é só substituirmos n por 3 na fórmula.
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= |
|
= |
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• Por Recorrência
Em uma sequência definida por recorrência não é possível determinar, imediatamente, um termo qualquer an. O termo an desejado, dependendo da fórmula de recorrência, necessitará de termos anteriores.
Exemplo
A sequência abaixo é definida por:
a1 = 3
an + 1 = an + 5
Vamos determinar os quatro primeiros termos dessa sequência.
a1 + 1 = a1 + 5
a2 = 3 + 5 = 8
a2 + 1 = a2 + 5
a3 = 8 + 5 = 13
a3 + 1 = a3 + 5
a4 = 13 + 5 = 18
Assim, a sequência é (3, 8, 13, 18,…).
Note que não é possível obtermos o termo a4 de imediato, sem obtermos os termos anteriores.
A sequência de Fibonacci é uma das sequências mais famosas.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Sua fama se deve ao fato de possuir propriedades intrigantes. Essa sequência é encontrada na natureza, usada por arquitetos em seus projetos e até por compositores musicais. A lei de formação dessa sequência é do tipo recorrência.
a1 = 1
a2 = 1
an + 2 = an + 1 + an; n ∈ ℕ*
Para construir essa sequência, basta começar com os dois primeiros termos e lembrar que cada termo é a soma dos dois anteriores.
a1 + 2 = a1 + 1 + a1
a3 = a2 + a1
a3 = 1 + 1 = 2
a2 + 2 = a2 + 1 + a2
a4 = a3 + a2
a4 = 2 + 1 = 3
a3 + 2 = a3 + 1 + a3
a5 = a4 + a3
a5 = 3 + 2 = 5
e assim por diante.