Tábua de uma operação
Uma tábua de uma operação é um dispositivo que permite encontrar todas as combinações de uma aplicação f num conjunto E. Como exemplo vamos construir a tábua da multiplicação em E={-1,0,1}.
| • | -1 | 0 | 1 |
| -1 | 1 | 0 | -1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | -1 | 0 | 1 |
Na célula vermelha colocamos a operação. A linha amarela é chamada de linha fundamental e a coluna amarela de coluna fundamental. Na tábua acima temos uma aplicação f: ExE → E que associa a cada par (ai,aj) o elemento ai * aj = aij.
Veja outro exemplo onde temos o conjunto D = {1,3,9,27} e x * y = mmc(x,y). Vamos montar a tábua dessa operação.
| * | 1 | 3 | 9 | 27 |
| 1 | 1 | 3 | 9 | 27 |
| 3 | 3 | 3 | 9 | 27 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 27 |
| 27 | 27 | 27 | 27 | 27 |
Propriedades das operações na tábua
Dado um conjunto F = {1, i, -1, -i} e x * y = x • y.
| • | 1 | i | -1 | -i |
| 1 | 1 | i | -1 | -i |
| i | i | -1 | -i | 1 |
| -1 | -1 | -i | 1 | i |
| -i | -i | 1 | i | -1 |
Podemos verificar se F é um grupo observando as propriedades na tábua de operação.
A propriedade associativa já é validada quando o exercício pede que use a tábua de operação.
Existência do elemento neutro
Procuramos a linha onde repete todos os elementos da linha fundamental.
| • | 1 | i | -1 | -i |
| 1 | 1 | i | -1 | -i |
| i | i | -1 | -i | 1 |
| -1 | -1 | -i | 1 | i |
| -i | -i | 1 | i | -1 |
Neste exemplo o elemento neutro é o 1, já que ao operarmos qualquer elemento com 1 teremos o próprio elemento.