O teorema de Laplace retorna o determinante de uma matriz de ordem n. Desta forma podemos calcular através desta ferramenta o determinante de matrizes de ordem maior ou igual a 2. Para usarmos o teorema de Laplace escolhemos arbitrariamente, uma linha ou coluna da matriz de ordem n. Daí, somamos os produtos dos elementos dessa linha ou coluna pelos respectivos cofatores.
Vamos ver um exemplo genérico. Dada a matriz A de ordem 4.
| A = |
| a11 |
a12 |
a13 |
a14 |
| a21 |
a22 |
a23 |
a24 |
| a31 |
a32 |
a33 |
a34 |
| a41 |
a42 |
a43 |
a44 |
|
O determinante de A pode ser calculado escolhendo-se uma linha ou coluna de A. Caso escolhamos a linha 3 o determinante de A será:
det A = a31*C31 + a32*C32 + a33*C33 + a34*C34.
Mas, se escolhermos a coluna 2 o determinante de A será:
det A = a12*C12 + a22*C22 + a32*C32 + a42*C42.
Exemplo 1
Calcule o determinante da matriz A pelo método de Laplace.
Afim de comprovar que escolhendo-se tanto uma linha quanto uma coluna o resultado do determinante será o mesmo, escolheremos trabalhar com a linha 1 e a coluna 2.
Determinante de A escolhendo a linha 1:
det A = a11*C11 + a12*C12 + a13*C13
C11 = 1 * [3 * 5 – 1 * (-2)] = 17
C12 = -1 * [(-2) * 5 – 1 * 4] = 14
C13 = 1 * [(-2) * (-2) – 3 * 4] = -8
det A = 0 * 17 + 3 * 14 + 0 * (-8) = 42
Determinante de A escolhendo a coluna 2:
det A = a12*C12 + a22*C22 + a32*C32
C12 = -1 * [(-2) * 5 – 1 * 4] = 14
C22 = 1 * [0 * 5 – 0 * 4] = 0
C32 = -1 * [0 * 1 – 0 * (-2)] = 0
det A = 3 * 14 + 3 * 0 + (-2) * 0 = 42
Veja que o resultado do determinante foi o mesmo. Portanto, a escolha de qualquer linha ou coluna não interfere no resultado.
Exemplo 2
(UFSC) Dada a matriz A de ordem 4 calcule o seu determinante.
| A = |
| 0 |
-1 |
0 |
0 |
| 5 |
8 |
0 |
0 |
| -1 |
-3 |
7 |
0 |
| 4 |
4 |
2 |
2 |
|
Lembre-se de que podemos escolher qualquer linha ou coluna para efetuar o cálculo do determinante. É mais conveniente escolher a coluna 4, visto que possui mais zeros.
det A = a14*C14 + a24*C24 + a34*C34 + a44*C44
det A = 0 * C14 + 0 * C24 + 0 * C34 + 2 * C44
Então, det A = 2 * C44
Veja que temos como menor complementar uma matriz de ordem 3. Aplicando a regra de Sarrus encontramos o valor 35 para o seu determinante. Logo, C44 = 1 * 35 = 35.
det A = 2 * C44
det A = 2 * 35 = 70
