Teorema fundamental da aritmética
Por meio do Crivo de Eratóstenes percebemos que um número a ≥ 2 ou é primo ou um múltiplo de primo. Veja o raciocínio abaixo:
Escolhemos um número a natural.
Podemos dizer que ou a é um primo p0 ou a é p0a1, com 1 < a1 < a
Obtivemos um novo número p0a1 que pode ser um primo p1 ou p1a2, com 1 < a2 < a1 < a
Veja a sequência de números que estamos obtendo: 1 < a2 < a1 < a. São todos números maiores do que 1 e menores do que a, ou seja, é uma quantidade finita de números que em algum momento resultará num número primo pr. Portanto, os números formados fazem parte do conjunto {1, an, …, a3, a2, a1, a}.
Veja os exemplos abaixo:
| 93 | = | 3 | x | 31 |
| é primo | ||||
| é primo | ||||
Tomemos o número 93. Inicialmente podemos pensar que este número é primo, porém pelo Crivo de Eratóstenes verificamos que ele não é um número primo, portanto 93 = primo x a1. Obtemos então que 93 = 3 x a1 em que a1 = 31, daí nos perguntamos: será que 31 é primo ou um número composto? Novamente, por meio do crivo concluimos que o número 31 é primo. Finalmente, temos que 93 = 3 x 31, em que os números 3 e 31 são primos. Logo, 93 é formado por uma multiplicação de primos. Lembre-se que esta escrita é única.
| 140 | = | 2 | x | 70 | ||||
| não é primo | ||||||||
| é primo | ||||||||
| 140 | = | 2 | x | 70 | ||||
| 140 | = | 2 | x | 2 | x | 35 | ||
| não é primo | ||||||||
| é primo | ||||||||
| 140 | = | 2 | x | 2 | x | 35 | ||
| 140 | = | 2 | x | 2 | x | 5 | x | 7 |
| é primo | ||||||||
| é primo | ||||||||
Chegamos então à conclusão de que qualquer número natural maior ou igual a 2 ou é primo ou é um produto de primos. Representamos então a = p0.p1.p2…pr.
Essa conclusão nos conduz ao Teorema Fundamental da Aritmética.
Dado um número a ≥ 2, ∃ r > 0, tal que
| a | = | p | n1 | . | p | n2 | . | … | . | p | nr |
| 1 | 2 | r |