Termo geral de uma P.A.
Uma P.A. é uma sequência definida por uma fórmula fechada, permitindo assim encontrarmos qualquer termo desta sem precisar escrevê-la completamente.
Considere a seguinte progressão aritmética de razão r.
(a1, a2, a3, a4, a5, …, an – 1, an)
a1 = a1 + 0r
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
Seguindo a sequência de passos anteriores, percebemos que, o termo an, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:
Na fórmula:
– an é o n-ésimo termo (termo geral)
– a1 é o primeiro termo
– n é o número de termos
– r é a razão
Notação especial
Há casos em que precisamos recorrer a artifícios para resolver determinados problemas envolvendo P.A.. Quando os problemas tratam de soma ou produto de termos consecutivos de uma P.A., é conveniente escrevemos seus termos da seguinte forma:
• Para uma P.A. de três termos, escrevemos: (x, x + r, x + 2r) ou (x – r, x, x + r)
• Para uma P.A. de quatro termos, escrevemos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r) ou (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r)
• Para uma P.A. de cinco termos, escrevemos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r) ou (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
Exemplo 1
Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.
(21, 25, 30, …, 620, 623)
Observe na sequência acima que o primeiro termo múltiplo de 5 é 25 e o último é 620.
an = a1 + (n – 1)r
a1 = 25
an = 620
n é o que estamos procurando
r = 5
Portanto:
an = a1 + (n – 1)r
620 = 25 + (n – 1)5
595 = 5n – 5
600 = 5n
n = 120
Logo, existem 120 múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.
Exemplo 2
Determine a P.A. que possui as seguintes características: o 10º termo vale 16 e a soma do 5º com o 9º termo é igual a 2.
Dados do problema:
a10 = 16
a5 + a9 = 2
a1 + 9r = 16
(a1 + 4r) + (a1 + 8r) = 2
 |
|
Vamos multiplicar a primeira equação do sistema por -2.
|
|
-6r = -30
r = 5
Substituindo r na equação a1 + 9r = 16, encontramos a1 + 9(5) = 16 → a1 = -29.
Logo, a P.A. procurada é (-29, -24, -19, -14, …).
Exemplo 3
Interpole 8 meios aritméticos entre 2 e 47.
| 2 | 47 |
Interpolar 8 meios aritméticos entre 2 e 47 significa determinar oito números reais de modo que se tenha uma P.A. em que a1 = 2 e a10 = 47.
an = a1 + (n – 1)r
a10 = a1 + (10 – 1)r
a10 = a1 + 9r
47 = 2 + 9r
45 = 9r
r = 5
Portanto, tem-se uma P.A. de razão igual a 5 e primeiro termo igual a 2. Logo, os oito meios aritméticos procurados são:
(2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47)
Exemplo 4
Uma fábrica produziu, em 1986, 6.530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23.330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:
a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987?
b) Quantas unidades serão produzidas em 1991?
a) Vamos fazer a seguinte correspondência:
a1 → 1986
a2 → 1987
a3 → 1988
a4 → 1989
a5 → 1990
a6 → 1991
Sabemos que em 1986 foram produzidas 6.530 unidades de certo produto, já em 1988 foram produzidas 23.330 unidades.
a3 = a1 + 2r
23.330 = 6.530 + 2r
16.800 = 2r
r = 8.400
Desse modo, a cada ano são produzidas 8.400 unidades deste produto.
a2 = a1 + r
a2 = 6.530 + 8.400
a2 = 14.930
Em 1987 foram produzidas 14.930 unidades do referido produto.
b) 1991 corresponde ao 6º termo da P.A..
a6 = a1 + 5r
a6 = 6.530 + 5(8.400)
a6 = 48.530
Exemplo 5
(UFRJ)A concessionária responsável pela manutenção de vias privatizadas, visando a instalar cabines telefônicas em uma rodovia, passou a seguinte mensagem aos seus funcionários: “As cabines telefônicas devem ser instaladas a cada 3 km, começando no início da rodovia”. Quantas cabines serão instaladas ao longo da rodovia, se a mesma tem 700 quilômetros de comprimento?
Este problema se resume a encontrar a quantidade números múltiplos de 3 entre 0 e 700. Porém, há um detalhe no final.
(0, 3, 6, …, 696, 699)
Observe na sequência acima que o primeiro termo múltiplo de 3 é 3 e o último é 699.
an = a1 + (n – 1)r
a1 = 3
an = 699
n é o que estamos procurando
r = 3
Portanto:
an = a1 + (n – 1)r
699 = 3 + (n – 1)3
696 = 3n – 3
699 = 3n
n = 233
Visto que, o problema trata de uma situação real, onde as cabines deverão ser instaladas desde o início da rodovia, isso quer dizer que no km zero existe uma cabine instalada. Portanto, são 234 cabines.