Trabalhando com P.A. e P.G. ao mesmo tempo
Em determinados momentos vamos precisar lidar com problemas que envolvem P.A. e P.G. simultaneamente. Veja os exemplos abaixo:
Exemplo 1
A sequência (x + 1, x², 14) é uma P.A. crescente e (x, 6, y) é uma P.G.
a) Qual é a razão da P.G?
b) Qual é o valor de y?
Se (x + 1, x², 14) é uma P.A., então temos:
x² – x – 1 = 14 – x²
2x² – x – 15 = 0
Δ = b² – 4ac
Δ = (-1)² – 4(2)(-15)
Δ = 1 + 120 = 121
| x = |
|
| x = |
|
| x = |
|
x’ = 3 e x” = -5/2
O problema nos informou que a P.A. é crescente, logo x = 3.
Portanto, (x + 1, x², 14) → (4, 9, 14)
(x, 6, y) → (3, 6 , y) que é uma P.G., então temos:
|
= |
|
36 = 3y
y = 12
A razão da P.G. é 6/3 = 2.
Exemplo 2
São dados 3 números inteiros em progressão geométrica cuja soma é 26. Determine esses números, sabendo que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do terceiro formam uma progressão aritmética.
(a1, a2, a3) é uma P.G.
(a1, a1q, a1q²)
a1 + a1q + a1q² = 26
a1 (1 + q + q²) = 26
(a1, 2a1q, 3a1q²) é uma P.A.
2a1q – a1 = 3a1q² – 2a1q
a1(2q – 1) = a1(3q² – 2q)
2q – 1 = 3q² – 2q
3q² – 4q + 1 = 0
Δ = b² – 4ac
Δ = (-4)² – 4(3)(1)
Δ = 16 – 12 = 4
| q = |
|
| q = |
|
q’ = 1 e q” = 1/3
Uma progressão geometrica com razão igual a 1 é um P.G. constante, logo q = 1/3.
a1 (1 + q + q²) = 26
a1 (1 + 1 ⁄ 3 + (1 ⁄ 3)²) = 26
a1 13 ⁄ 9 = 26
a1 = 18
(a1, a1q, a1q²)
(18, 18*1/3, 18*(1/3)²)
(18, 6, 2)
Podemos comprovar que 18 + 6 + 2 = 26.
(18, 12, 6) é uma P.A.