Livro de Matemática

Triângulo de Pascal

Os número binomiais podem ser dispostos ordenadamente numa tabela, chamado de triângulo de Pascal ou Tartaglia. Note que em cada coluna os denominadores são iguais e em cada linha os numeradores são iguais.

  0 1 2 3 4 … n
0
0
0
           
1
1
0
1
1
         
2
2
0
2
1
2
2
       
3
3
0
3
1
3
2
3
3
     
4
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
   
… … … … … …    
n
n
0
n
1
n
2
n
3
… …
n
n

Veja como fica o triângulo de Pascal quando substituimos o cada binomial pelo seu respectivo valor.

  0 1 2 3 4 5 6 7
0 1              
1 1 1            
2 1 2 1          
3 1 3 3 1        
4 1 4 6 4 1      
5 1 5 10 10 5 1    
6 1 6 15 20 15 6 1  
7 1 7 21 35 35 21 7 1
… … … … … … … … …

Propriedades do triângulo de Pascal

1. Todos os elementos da primeira coluna são iguais a 1. Isso é devido ao binomial n sobre 0.

2. O último elemento de cada linha é igual a 1. Isso é devido ao binomial n sobre n.

3. Numa linha qualquer, dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais:
Veja a linha 6 do triângulo: 1 6 15 20 15 6 1

4. Numa mesma linha a soma de dois binomiais consecutivos com denominadores p e p + 1 resulta no binomial de numerador n + 1 e denominador p + 1.

n
p
+
n
p + 1
=
n + 1
p + 1

Esta é a relação de Stiffel.

5. A soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma potência de base 2, cujo expoente é o numerador n do número binomial.

linha 0 → 1   20 = 1
linha 1 → 1 + 1   21 = 2
linha 2 → 1 + 2 + 1   22 = 4
linha 3 → 1 + 3 + 3 + 1   23 = 8
linha 4 → 1 + 4 + 6 + 4 + 1   24 = 16
linha 5 → 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1   25 = 32

De forma geral:

n
0
+
n
1
+
n
2
+ … +
n
n
= 2n

A expressão acima também pode ser escrita na forma de somatório.

n
∑
i = 0
n
i
= 2n