Adição em N
A adição no conjunto dos números naturais é um processo bastante simples.
| … | → | a | → | a + 1 | → | a + 2 | → | … | → | a + b |
Dado um número a qualquer natural, vamos deslocá-lo b posições para a direita, dessa forma, obtemos o número a + b. A essa operação (deslocar a, b posições para a direita) damos o nome de adição, o número a + b é chamado de soma de a e b, enquanto os números a e b são chamados de parcelas.
Por exemplo, dados a = 4 e b = 2, vamos deslocar a de duas posições para a direita, obtendo a sequência
| 4, | 4 + 1 = 5, | 5 + 1 = 6 |
Propriedades da adição em ℕ
- a + (b + c) = (a + b) + c, ∀ a, b, c ∈ ℕ (associativa)
- a.(b + c) = ab + ac (distributiva)
- a + b = b + a, ∀ a, b ∈ ℕ (comutativa)
- a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ ℕ (existência do elemento neutro)
- b + a = c + a → b = c (lei do cancelamento)
Mesmo que a subtração não esteja definida no conjunto ℕ ainda podemos utilizá-la seguindo alguns critérios.
Dados dois números naturais a e b tais que a ≤ b, o número de saltos para a direita partindo de a para atingir b será representado por b – a e recebe o nome de diferença entre b e a. Por exemplo, dados a = 4 e b = 9, é preciso deslocar 4 para a direita de 5 posições para alcançar 9, logo 9 – 4 = 5.
Por fim, pela definição de b – a, tem-se que
O número b – a é também o quanto devemos deslocar b para a esquerda para alcançar a. É interessante perceber que o número b – a nos informa a quantidade de números que são maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.
| a + 0, | a + 1, | a + 2, | … | a + (b – a) = b | ||
| 5 | 6 | 7 | … | 5 + (17 – 5) = 17 |
Note que entre 5 e 17 existem 12 números maiores ou iguais a 5 e menores ou iguais a 17, ou seja, o intervalo fechado [5,17] possui (17 – 5) + 1 elementos. Generalizando, podemos dizer que o intervalo [a,b] possui (b – a)+1 elementos. Fique atento ao seguinte: 17 – 5 = 12, ou seja, são necessários 12 saltos a partir de 5 para atingir 17.