Livro de Matemática

Atividades de autoavaliação

  1. Sobre os axiomas algébricos, indique se as afirmações a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F):

    ( ) Os inteiros 0 e 1 são os únicos elementos neutros aditivo e multiplicativo, respectivamente.
    ( ) Para todos a, b e c ∈ ℤ tais que a + b = a + c temos que b = c.
    ( ) Para todo elemento a ∈ ℤ, existe um elemento a’ ∈ ℤ tal que a . a’ = 1.
    ( ) Apenas por meio dos axiomas algébricos é possível provar que (-1) . (-1) = 1.

    Agora, assinale a alternativa que corresponde a sequência obtida:

    a. V, V, F, V ★
    b. V, F, F, V
    c. V, V, F, F
    d. F, V, V, V
    e. V, F, V, F

  2. Analise as afirmações a seguir e indique se são verdadeiras (V) ou falsas (F):
    ( ) Se a² = a, então a = 0 ou a = 1.
    ( ) Se a³ = a, então a = 0 ou a = 1.
    ( ) A equação a + x = b tem uma única solução em ℕ.
    ( ) A equação a + x = b admite mais de uma solução em ℤ.

    Agora, assinale a alternativa que corresponde à sequência obtida:

    a. V, V, F, V
    b. V, F, F, V
    c. V, V, F, F
    d. F, V, V, V
    e. V, F, V, F ★

    Primeira sentença
    a² = a → a² – a = 0 → a(a – 1) = 0 → a = 0 ou a – 1 = 0 = 1 → Verdadeira.

    Segunda sentença
    a³ = a → a³ – a = 0 → a(a² – 1) = 0 → a(a – 1)(a + 1) = 0

    soluções:

    a = 0, a = 1, a = -1

    Falsa, pois existe a solução a = -1.

    Terceira sentença
    a + x = b → x = b – a

    para que a equação possua apenas uma solução em ℕ é necessário que b ≥ a. Portanto, em ℕ só existe uma única solução para a equação dada.

    Verdadeira

    Quarta sentença

    a + x = b realmente só possui uma única solução em Z, pois ao solucionar a equação sempre teremos um único valor para x. Diferente de uma equação de 2º grau onde x pode assumir 2 valores.

    Falsa.

  3. Considere a, b, c ∈ ℤ e indique se as afirmações a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F):

    ( ) a² – ab + b² ≥ 0.
    ( ) Se a < b, então a³ < b³.
    ( ) Se a < b, então a² < b².
    ( ) A equação x² + 1 = 0 tem solução em ℤ.
    ( ) Se a . b < a . c e a > 0, então b < c.

    Agora, assinale a alternativa que corresponde à sequência obtida:

    a. V, V, F, V, V
    b. V, F, F, F, V
    c. V, V, F, F, V ★
    d. F, V, F, V, F
    e. V, V, V, F, F

    Se a < b → a² < b² → (-2) < 2 → (-2)² ≤ 2² → 4 ≤ 4 → Sentença falsa.

  4. Demonstre que, se um subconjunto de Z tem mínimo (ou máximo), então o mínimo (ou máximo) é único.
    Seja A um subconjunto de ℤ e que A possua mínimo. Ou seja, existe um elemento m ∈ A tal que ∀ a ∈ A, m ≤ a.

    Vamos supor por absurdo, que existam dois mínimos distintos, m1 e m2, ambos em A, tal que ∀ a ∈ A, m1 ≤ a e m2 ≤ a.

    Como m1, m2 ∈ A, podemos aplicar as desigualdades a eles mesmos.

    • Como m2 ∈ A, pela definição de mínimo, m2 ≤ m1
    • Como m1 ∈ A, pela definição de mínimo, m1 ≤ m2

    Logo:

    m1 ≤ m2 e m2 ≤ m1 ⇒ m1 = m2

    Portanto, m1 e m2 não são distintos. Isso contradiz a suposição de que existem dois mínimos distintos. Assim o mínimo é único.

  5. Dado um conjunto de números A, definimos a cardinalidade de A por:

    |A| =
    Número de elementos de A, caso tal seja finito
    ∞, caso contrário

    Nesse caso, é possível afirmar que dois conjuntos, A e B, têm mesma cardinalidade se existe uma função φ: A → B bijetiva.

    Prove que o conjunto dos números pares é infinito, com cardinalidade igual ao conjunto dos inteiros. De igual forma, prove que o conjunto dos números ímpares é infinito, com a mesma cardinalidade do conjunto dos inteiros. Note que, assim, teremos dois conjuntos disjuntos, por exemplo, P e I, tais que |P| = |ℤ| = |I| e P ⋃ I = ℤ.
    Antes de iniciarmos vamos ver como funciona essa ideia aplicada aos conjuntos finitos.

    Seja A = {1,3,5,7} com cardinalidade 4.
    Seja B = {2,4,6,8} com cardinalidade 4.

    Sendo C = A ⋃ B → C = {1,2,3,4,5,6,7,8} e terá cardinalidade 8, ou seja, |A| + |B|.

    Regra geral para conjuntos finitos

    Se A e B são finitos e disjuntos, então:

    |A ⋃ B| = |A| + |B|

    Comparando com o caso infinito

    Nos conjunto infinitos enumeráveis, essa regra não vale da mesma forma. Quando temos dois conjuntos infinitos enumeráveis disjuntos (como pares e ímpares) a união ainda tem a mesma cardinalidade.
    Em teoria dos conjuntos, dois conjuntos infinitos têm a mesma cardinalidade se existe uma bijeção entre eles (ou seja, é possível parear seus elementos um a um, sem sobrar nenhum).

    Os números pares são infinitos e têm a mesma cardinalidade dos inteiros

    ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
    2ℤ = {…, -4, -2, 0, 2, 4, …}

    Mostrar que 2ℤ é infinito

    Sabemos que o conjunto dos números naturais ℕ é infinito. Portanto, vamos gerar infinitos inteiros pares por meio de uma fórmula ou função ƒ: ℕ → 2ℤ, tal que ƒ = 2n, ∀ n ∈ ℕ.

    f(n) = 2n
    f(1) = 2 . 1 = 2
    f(2) = 2 . 2 = 4
    f(3) = 2 . 3 = 6
    ⁝
    f(n+1) = 2(n+1)

    Como há infinitos números naturais, haverá infinitos números inteiros pares.

    Mostrar que |2ℤ| = |ℤ|

    Vamos definir uma função ƒ: ℤ → 2ℤ dada por f(n) = 2n. Note que para cada n ∈ ℤ haverá um correspondente em 2ℤ. Visto que, ℤ é infinito, 2ℤ também é.
    Logo, possuem a mesma cardinalidade.

    O mesmo pode ser feito para os números inteiros ímpares, basta definir uma função g: ℤ → ℤímpar, tal que g(n) = 2n + 1.