Livro de Matemática

O foco do estudo da teoria dos números é o conjunto dos números inteiros. Este conjunto é dotado de duas operações binárias, denominadas adição e multiplicação e representadas pelos símbolos + e . respectivamente. Estas operações satisfazem os seguintes axiomas:

• Fechamento: Para quaisquer a e b inteiros, a + b e a . b também são inteiros.
• Associatividade: Para todos a, b, c ∈ Z, (a + b) + c = a + (b + c) e (a . b) . c = a . (b . c).
• Elemento neutro: Existe um elemento 0 ∈ Z tal que 0 + a = a para todo a ∈ Z e um elemento 1 ∈ Z tal que 1 . a = a para todo a ∈ Z.
• Elemento oposto ou simetrizável: Para cada a ∈ Z, existe um elemento – a ∈ Z tal que a + (-a) = 0.
• Distributividade: Para todo a, b, c ∈ Z, temos a .(b + c) = ab + ac.
• Comutatividade: Para todo a, b ∈ Z, a + b = b + a e a . b = b . a.

Axiomas de ordem

Definição 1

Sejam a e b ∈ Z, dizemos que a ≤ b se existir um r ∈ N*, tal que b = a + r.

Exemplos: 2 ≤ 5, pois 5 – 2 = 3, ou seja, 5 = 2 + 3. 4 ≤ 4, pois 4 – 4 = 0.

Definição 2 – Tricotomia

Para quaisquer dois inteiros a e b, uma das condições é satisfeita:

a < b ou b < a ou b = a

Esse axioma garante que sempre podemos comparar dois números inteiros de uma maneira clara e distinta.

Definição 3

• Reflexividade: Para cada a ∈ Z, a ≤ a.
• Antissimetria: Para todo a, b ∈ Z, se a ≤ b e b ≤ a, então a = b.
• Transitividade: Para todo a, b, c ∈ Z, se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c.

Definição 4

Sejam a, b, c , d ∈ Z, então:

• Se a ≤ b, então a ± c ≤ b ± c.
• Se a < b e c > 0, então ac < bc.
• Se a < b e c < 0, então ac > bc.
• Se 0 < a < b e 0 < c < d, então ac < bd.
• Se a ≠ 0, então a² > 0.
• Se a, b > 0 e a² < b², então a < b.

Definição 5 – Valor absoluto

Dado a ∈ Z, definimos o valor absoluto de a sendo:

|a| = a se a > 0
|a| = -a se a ≤ 0

Exemplo: |5| = 5, |-3| = -(-3) = 3

O resultado do módulo é sempre positivo.

• |a| ≥ 0 e |a| = 0 se, e somente se, a = 0.
• -|a| ≤ a ≤ |a|
• |-a| = |a|
• |ab| = |a|.|b|
• |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdade triangular)
• ||a|-|b|| < |a – b|

Definição 6

Dado A ⊂ Z um subconjunto dos inteiros, dizemos que A é limitado inferiormente se existir um k ∈ Z tal que k ≤ a ∀ a ∈ A. Dessa forma, o conjunto A é um conjunto que possui limite inferior, mas não há limite superior. Exemplos:

A = {3, 6, 9, 12, 15, …} ou [3,∞)

Da mesma forma, um conjunto pode ser limitado superiormente. Também podemos afirmar que todo conjunto não vazio A ⊂ Z limitado inferiormente possui elemento mínimo. Seguindo o mesmo raciocínio, todo conjunto não vazio A ⊂ Z limitado superiormente possui elemento máximo.

Definição 7 – Propriedade Arquimediana

Dados a, b ∈ N, existe n ∈ N tal que n . a > b.
A propriedade arquimediana, no contexto dos números inteiros, é uma característica fundamental que se refere ao comportamento dos números inteiros na linha numérica. Em termos simples, ela afirma que, dado qualquer número inteiro positivo, por maior que ele seja, podemos sempre encontrar outro número inteiro positivo que, multiplicado por um número inteiro suficientemente grande, será maior que qualquer número inteiro dado.

Exemplo:
Suponha que a = 2 e b = 100:

• De acordo com a propriedade arquimediana, existe um número inteiro n tal que n . 2 > 100.
• Se escolhermos n = 51, então 51 * 2 = 102, que é maior do que 100.

A intuição por trás dessa propriedade é que não importa o quão grande seja um número $b$, multiplicando um número inteiro positivo $a$ por números inteiros suficientemente grandes, podemos sempre alcançar ou ultrapassar $b$. Isso reflete a ideia de que os números inteiros são ilimitados na direção positiva e negativa.

A propriedade arquimediana é crucial em várias áreas da matemática, pois assegura que não existem “lacunas” nos números inteiros quando multiplicados por números suficientemente grandes. Essa propriedade é também uma base para definir e entender os conceitos de limites e convergência em contextos mais avançados da análise matemática.

Definição 8 – Paridade

Dizemos que um número inteiro a é par se existir um elemento k também inteiro tal que a = 2k. De igual forma, um inteiro a é dito ímpar se existir um inteiro k  tal que a = 2k + 1. Portanto, dado um a ∈ Z, temos que a é par ou a é ímpar, não havendo outra possibilidade. O conjunto dos números inteiros é a união disjunta entre o conjunto dos inteiros pares e o conjunto dos inteiros ímpares.