Livro de Matemática

Base de um espaço vetorial

Em Álgebra Linear, o conceito de base é fundamental para compreender a estrutura de espaços vetoriais. Uma base é um conjunto de vetores que, de certa forma, “gera” todos os outros vetores no espaço. Seja V um espaço vetorial e B um subconjunto de V. O conjunto B é considerado uma base se três condições forem satisfeitas:
1 – O vetores de B são linearmente independentes.
2 – Os vetores de B geram o espaço vetorial V, ou seja, qualquer vetor de V pode ser expresso como combinação linear de B.
3 – Possuir um conjunto mínimo gerador.

Portanto, seja V um espaço vetorial e B um subconjunto de V linearmente independente e que gera V. B é considerado Base de V se qualquer elemento v de V puder se escrito como combinação linear dos elementos de B, ou seja, B = {v1, v2, v3, …, vn} e v ∈ V, logo v = α1v1 + α2v2 + α3v3 + … + αnvn sendo os escalares α1, α2, α3, …, αn as coordenadas de v na base B.

Observação:

O conjunto W = {(1,0),(1,1),(1,3)} gera o espaço R², mas não é considerado uma base porque seus vetores são LD. Portanto, nem todo conjunto de vetores LI é base e nem todo conjunto que gera um espaço vetorial é base.

Exemplos de bases:

{(1,0),(0,1)} base de R2. Essa base é de dimensão 2, pois possui 2 vetores.
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} base de R3. Essa base é de dimensão 3, pois possui 3 vetores.
{1, x, x², x³, …, xn} base dos polinômios de grau n

1 0
0 0
,
0 1
0 0
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1

Base das matrizes M2×2.