Combinação linear
Combinação linear é o termo usado para descrever quando um vetor é resultado da combinação de outros n vetores.
Exemplo:
8 = 1(2) + 2(3)
O número 8 pode ser escrito como combinação linear de (2) e (3), onde 1 e 2 são escalares.
20 = 3(2) + 2(7)
O número 20 pode ser escrito como combinação linear de (2) e (7), onde 3 e 2 são escalares.
Aplicando isso a vetores tem-se a seguinte definição.
Dizemos que w num espaço vetorial V é uma combinação linear dos vetores v1, v2, …, vn se w puder se escrito na forma:
w = a1v1 + a2v2 + … + anvn
em que, a1, a2, …, an são escalares.
Exemplo 1
Verifique se o vetor (7,10) é combinação linear dos vetores (1,4) e (5,2).
Para que o vetor (7,10) seja combinação linear dos vetores (1,4) e (5,2) é necessário que (7,10) = a(1,4) + b(5,2). Precisamos encontrar valores para os escalares a e b. Quando não conseguimos encontrar valores para eles, a combinação linear não é possível.
(7,10) = a(1,4) + b(5,2)
(7,10) = (a,4a) + (5b,2b)
(7,10) = (a + 5b,4a + 2b)
Chegamos no sistema abaixo:
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Multiplicamos a primeira equação do sistema por (-4).
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Em seguida somamos a duas equações.
-4a + 4a + (-20b) + 2b = -28 + 10
-18b = -18
b = 1
Encontramos o valor da variável b. Agora substituímos o valor de b em uma das equações dos sistema e encontraremos o valor da variável a.
a + 5b = 7
a + 5(1) = 7
a = 7 – 5
a = 2
Portanto, o vetor (7,10) = 2(1,4) + 1(5,2).
Exemplo 2
Considere os polinômios p(x) = 2x² + 3x + 5, q(x) = x² + 1, r(x) = 2x e s(x) = 5x² – 4x + 11. Mostre que s(x) é combinação linear de p(x), q(x) e r(x).
Para que s(x) seja combinação linear de p(x), q(x) e r(x) é possível que s(x) seja escrito como:
s(x) = ap(x) + bq(x) + cr(x)
5x² – 4x + 11 = a(2x² + 3x + 5) + b(x² + 1) + c(2x)
5x² – 4x + 11 = (2ax² + 3ax + 5a) + (bx² + b) + (2cx)
5x² – 4x + 11 = 2ax² + bx² + 3ax + 2cx + 5a + b
5x² – 4x + 11 = (2a + b)x² + (3a + 2c)x + 5a + b
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Podemos resolver este sistema por escalonamento ou pela regra de Cramer.
Vamos resolver pela regra de Cramer.
Montamos a matriz dos coeficientes e calculamos o seu determinante.
| A = |
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= 6 |
| Aa = |
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= 12 |
| Ab = |
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= 6 |
| Ac = |
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= -30 |
De posse dos determinantes podemos encontrar os valores de a, b e c.
| a = |
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= |
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= 2 |
| b = |
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= |
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= 1 |
| c = |
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= |
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= -5 |
Portanto, a = 2, b = 1 e c = -5. s(x) = 2(2x² + 3x + 5) + (x² + 1) – 5(2x), ou seja, s(x) = 2p(x) + q(x) – 5r(x).
Dependência e independência linear
Diz-se que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores no conjunto pode ser representado como uma combinação linear dos outros. Matematicamente, seja V um espaço vetorial e {v1,v2,v3, …, vn} um conjunto de vetores em V. Esse conjunto é linearmente dependente se existirem escalares α1, α2, …, αn, não todos nulos,
tais que a seguinte equação é satisfeita:
Aqui, 0 representa o vetor nulo.
Por outro lado, um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que iguala o vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são nulos. Matematicamente, seja V um espaço vetorial e {v1,v2,v3, …, vn} um conjunto de vetores em V. Esse conjunto é linearmente independente se a seguinte implicação for verdadeira:
α1 = α2 = … = αn = 0
Isso significa que a única maneira de obter a combinação linear nula é atribuindo zero a todos os coeficientes. Em outras palavras, nenhum vetor no conjunto pode ser expresso como uma combinação linear dos outros.
Um conjunto linearmente independente NÃO possui o vetor nulo dentro dele, já que o vetor nulo é combinação linear de quaisquer outros vetores.