Critérios de divisibilidade
Você saberia dizer sem efetuar a divisão, se o número 69.534 é divisível por 9? Ou se o número 106.517 é divisível por 4? Sem a ajuda de um mecanismo automatizado, a verificação da divisibilidade de um número natural por outro, quando feita pela divisão, é morosa e demorada. Entretanto, para alguns números, existem regras práticas que nos permitem verificar, rapidamente e sem efetuar a divisão, se um número natural é ou não é divisível por outro número natural. Essas regras recebem o nome de critérios de divisibilidade.
Abaixo está listada, como uma receita, os critérios de divisibilidade que podem ser verificados um a um pelo leitor.
- Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 se este for par.
- Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos resultar num número divisível por 3. 62.124 é divisível por 3, pois 6 + 2 + 1 + 2 + 4 = 15 e 15 é divisível por 3.
- Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita é divisível por 4.
- Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
- Divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3, simultaneamente.
- Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo do número e os demais algarismos restantes dá um número divisível por 7.
- Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita é divisível por 8.
- Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número divisível por 9.
- Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 quando termina em 0.
- Divisibilidade por 11: o processo para descobrir se um número é divisível por 11 é mais detalhado. Para saber se o número 3.927 é divisível por 11:
1º – efetuamos a soma dos algarismos alternados do número 3.927, assim: 3 + 2 = 5 e 9 + 7 = 16.
2º – Agora encontramos a diferença entre os dois resultados, 16 – 5 = 11.Visto que o valor encontrado é um número divisível por 11, então 3.927 é divisível por 11.
De forma genérica consideremos a, b, c, d ∈ Z, são verdadeiras a seguintes afirmações:
- 1|a, 1 divide qualquer inteiro.
- a|a
- Se a|b e b|c, então a|c.
- Se a|b e c|d, então ac|bd.
- Se a|b, então b/a | b
- Se a|b, então a|mb ∀ m ∈ Z. Se a divide b, então a divide qualquer múltiplo de b.
- Se a|b e a|c, então a|(mb + nc) ∀ m, n ∈ Z.
- Se a|b e a|(b + c), então a|c.