Decomposição em fatores primos
Todo número natural não primo, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplicação onde todos os fatores são números primos. Veja o número 72 escrito na forma fatorada.
| 72 | 2 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
Portanto:
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2³ x 3²
A esse processo de escrever um número em fatores primos damos o nome de decomposição em fatores primos, que consiste em:
- dividir, inicialmente, o número dado pelo seu menor divisor primo;
- dividir, a seguir, o quociente obtido pelo seu menor divisor primo;
- proceder igualmente, assim por diante, até se obter um quociente 1.
Obtendo a quantidade de divisores de um número inteiro
Dado a ∈ ℤ, chamamos de N(a) o número de divisores positivos de a.
Tal definição inclui entre os divisores de a os valores 1 e |a|. No caso de a ser primo, teremos N(a) = 2.
Para o caso de um número composto temos:
| a | = | p | n1 | . | p | n2 | . | … | . | p | nr |
| 1 | 2 | r |
Logo, N(a) = (n1 + 1) . (n2 + 1) . … . (nk + 1).
Encontre o número de divisores de 12.
Fatorando 12 encontramos 12 = 2² . 3¹.
N(12) = (2 + 1) . (1 + 1) = 3 . 2 = 6
Logo, 12 possui 6 divisores.
Encontre o número de divisores de 3.900.
3.900 = 2² . 3¹ . 5² . 13¹
N(3.900) = (2 + 1) . (1 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1) = 3 . 2 . 3 . 2 = 36
Logo, 3.900 possui 36 divisores.