Livro de Matemática

Dada a equação a . x = b, vamos verificar a existência de soluções no conjunto dos inteiros para a, b ∈ ℤ.

Definição 1

Dados a, b ∈ ℤ, diz-se que b divide a se existe c ∈ ℤ tal que a = b . c.

Ao dizermos que b divide a, é possível também dizermos que “a é divisível por b“, “b é divisor de a” e ainda, “a é múltiplo de b“.

• b divide a é representado por b | a
• b não divide a é representado por b ∤ a

Um caso interessante é quando a = 0. Note que, pela definição de divisibilidade, b | 0 para todo inteiro b, ja que 0 = bc. Além disso, 0 | 0, existindo infinitos valores para c ∈ ℤ tal que 0 = 0 . c. Por isso, é natural dizer que zero sobre zero é uma indeterminação.

Propriedades

Considerando a, b, c, d ∈ ℤ quaisquer, são verdadeiras as seguintes afirmações:

1. 1|a
2. a|a
3. Se a|b e b|c, então a|c
4. Se a|b e c|d, então ac|bd
5. Se a|b, então b/a | b
6. Se a|b, então a|mb para todo m ∈ ℤ
7. Se a|b e a|c, então a|(mb + nc) para todos m, n ∈ ℤ
8. Se a|b e a|(b + c), então a|c
9. Os únicos divisores de 1 são 1 e -1
10. Se a|b e b|a, então a = ± b
11. Se a|b, então a|-b, -a|b, -a|-b e |a| | |b|

Analisaremos agora o caso onde a∤b, obtendo assim um resto.

Seja a, b ∈ ℤ, com a > 0, ao efetuarmos a divisão de b por a, irão existir e serão únicos os inteiros q e r, com 0 ≤ r < a e b = qa + r. Nesse contexto, os inteiros q e r são denominados quociente e resto, respectivamente.
Uma aplicação da divisibilidade é a representação de números em determinada base. Quando representamos um número em outra base (por exemplo, da base 10 para a base 2 ou base 16), usamos divisões sucessivas para descobrir quais são os dígitos na nova base. Esse processo depende diretamente da ideia de divisibilidade.

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