Equações diferenciais de primeira ordem de variáveis separáveis
Seja a equação diferencial
|
(x) | = | F(x;y) |
Onde F(x;y) é uma função que depende da variável x e da própria função y.
No caso das equações de variáveis separáveis pode ocorrer as seguintes situações:
1° caso: As variáveis já se encontram separadas e portanto aplicamos os procedimentos de integração.
P(x)dx = Q(y)dy
| ∫ | P(x)dx | = | ∫ | Q(y)dy |
2° caso: As variáveis se encontram misturadas sendo necessário aplicar procedimentos algébricos para separá-las e em seguida as técnicas de integração.
P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 → recebemos a equação nesse formato
P(x)dx = Q(y)dy → aplicamos procedimentos algébricos e chegamos neste formato
| ∫ | P(x)dx | = | ∫ | Q(y)dy |
Integramos ambos os lados e encontramos a solução.
Exemplo 1
Resolva a equação diferencial (x + 5)dx – (2 – y)dy = 0.
(x + 5)dx – (2 – y)dy = 0
(x + 5)dx = (2 – y)dy
P(x)dx = Q(y)dy
Veja que nesse caso, as variáveis já se encontram separadas. Portanto, já podemos integrar dos dois lados.
| ∫ | (x + 5)dx | = | ∫ | (2 – y)dy |
|
+ | 5x + C1 | = | 2y | – |
|
+ C2 |
x² + 10x + 2C1 = 4y – y² + 2C2
x² + y² + 10x – 4y = C, onde C = 2C1 – 2C2
Exemplo 2
Resolva a equação diferencial xcos(y) dy = (x + 1)sen(y) dx.
xcos(y) dy = (x + 1)sen(y) dx
Devemos separar as variáveis colocando o que tem x com dx e o que tem y com dy.
|
dy | = |
|
dx |
P(x)dx = Q(y)dy
A partir de agora integramos ambos os lados.
| ∫ |
|
dy | = | ∫ |
|
dx |
| ∫ | cotg(y) | dy | = | ∫ |
|
+ |
|
dx |
| ∫ | cotg(y) | dy | = | ∫ | 1 | + |
|
dx |
ln|sen(y)| = x + ln|x| + C
eln|sen(y)| = ex + ln|x| + C
eln|sen(y)| = ex*eln|x|*eC
sen(y) = exxeC
sen(y) = xexC, onde C = eC.