Livro de Matemática

Equações exatas

Dada uma função F(x,y). Fazendo F(x,y) = C, onde C é uma constante qualquer, ou seja, C ∈ ℝ. Note que, F(x,y) está na forma implícita. Derivando F(x,y) = C, tem-se:

∂F
∂x
+
∂F
∂y
dy
dx
= 0

Em seguida fazemos:

∂F
∂x
= M(x,y)
∂F
∂y
= N(x,y)

Assim teremos:

M(x,y) + N(x,y)
dy
dx
= 0

Multiplicando ambos os lados por dx, tem-se:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Nota:

Dado z = f(x,y)
Derivando em x

1ª derivada =
∂z
∂x
2ª derivada =
∂
∂x
∂z
∂x
=
∂²z
∂x²
= fxx

Derivando em y

1ª derivada =
∂z
∂y
2ª derivada =
∂
∂y
∂z
∂y
=
∂²z
∂y²
= fyy

Derivação mista
Derivando em x

1ª derivada =
∂z
∂x
2ª derivada =
∂
∂y
∂z
∂x
=
∂²z
∂y∂x
= fxy

Derivação mista
Derivando em y

1ª derivada =
∂z
∂y
2ª derivada =
∂
∂x
∂z
∂y
=
∂²z
∂x∂y
= fyx

A equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 será exata se:

∂M
∂y
=
∂N
∂x

Caso isso ocorra existe uma função u(x,y) onde:

∂u
∂x
= M
∂u
∂y
= N

Para resolver o sistema, escolhemos uma das equações e integramos. O resultado deve ser incluído na segunda equação. Fazendo essa inclusão encontraremos a função u(x,y). Finalmente, a solução geral da equação é encontrada por u(x,y) = C.

Exemplo 1

Resolva a equação 2xydx + (x² – 1)dy = 0.

2xydx + (x² – 1)dy = 0

M(x,y) = 2xy dx
N(x,y) = (x² – 1)dy

∂M
∂y
=
∂N
∂x
∂M
∂y
= 2x
∂N
∂x
= 2x
Portanto,
∂M
∂y
=
∂N
∂x
.

Logo, existe u(x,y), onde:

∂u
∂x
= 2xy
∂u
∂y
= (x² – 1)
u(x,y) = ∫ 2xy dx

u(x,y) = x²y + g(y)

Agora incluimos este resultado na segunda equação do sistema.

∂u
∂y
= N
∂
∂y
x²y + g(y) = x² – 1

x² + g’(y) = x² – 1
g’(y) = -1

Para saber quem é g(y) integramos g’(y).

∫ -1 dy = -y + C

Portanto, g(y) = -y + C.
Retomando u(x,y) = x²y + g(y), tem-se:

u(x,y) = x²y – y + C