Livro de Matemática

Equações homogêneas

Uma equação diferencial do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é dita homogênea de grau m toda vez que as funções M e N forem homogêneas de mesmo grau m, sendo m um número real.

Uma função f(x,y,z) homogênea obedece a igualdade abaixo:

f(kx,ky,kz) = kmf(x,y,z)

Onde m, é o grau de homogeneidade da função.

Exemplo 1

Verificar o grau de homogeneidade da função f(x,y,z) = 2x² – 5xy + yz.

Vamos substituir x por kx, y por ky e z por kz.

f(kx,ky,kz) = 2k²x² – 5kxky + kykz
f(kx,ky,kz) = 2k²x² – 5k²xy + k²yz
f(kx,ky,kz) = k²(2x² – 5xy + yz)
f(kx,ky,kz) = k²f(x,y,z)

Portanto, a função acima é homogênea de grau 2.

Exemplo 2

A função f(x,y) = πx³ – ey² é homogênea?

Vamos substituir x por kx e y por ky.

f(kx,ky) = πk³x³ – ek²y²
f(kx,ky) = k²(kπx³ – ey²)

Veja que não foi possível remover o k da função. Portanto, a função não é homogênea.

Nota:

Perceba que a soma de todos os expoentes dos elementos da função f(x,y,z) = 2x² – 5x¹y¹ + y¹z¹ é um número par. Sempre que isso ocorrer a função será homogênea.

A soma dos expoentes da função f(x,y) = πx³ – ey² é ímpar, comprovando a sua não homogeneidade.

Exemplo 1

Verificar se a equação diferencial (x² + y²)dx + (x² – xy)dy = 0 é homogênea.

Veja que a equação (x² + y²)dx + (x² – xy)dy = 0 é composta por duas funções:

M(x,y) = (x² + y²)dx

N(x,y) = (x² – xy)dy

Se as funções M e N forem homogêneas e de mesmo grau, então a equação diferencial será homogênea.

M(x,y) = (x² + y²)dx
M(kx,ky) = (k²x² + k²y²)dx
M(kx,ky) = k²(x² + y²)dx

M é homogênea de grau 2.

N(x,y) = (x² – xy)dy
N(kx,ky) = (k²x² – kxky)dy
N(kx,ky) = (k²x² – k²xy)dy
N(kx,ky) = k²(x² – xy)dy

N é homogênea de grau 2.

Portanto, a equação (x² + y²)dx + (x² – xy)dy = 0 é homogênea de grau 2.

Exemplo 2

Resolva a equação (x² – y²)dx – 2xydy = 0.

Passo 1: verifique se a equação é efetivamente homogênea.
(x² – y²)dx – 2xydy = 0.
M(x,y) = (x² – y²)dx é homogênea de grau 2.
N(x,y) = -2xydy é homogênea de grau 2.

Portanto, (x² – y²)dx – 2xydy = 0 é homogênea de grau 2.

Passo 2: Faça a substituição de variáveis.
y = ux
dy = udx + xdu

(x² – y²)dx – 2xydy = 0
(x² – u²x²)dx – 2xux(udx + xdu) = 0
x²(1 – u²)dx – 2ux²(udx + xdu) = 0
x²(1 – u²)dx – 2u²x²dx – 2ux³du = 0
x²(1 – u² – 2u²)dx – 2ux³du = 0
x²(1 – 3u²)dx = 2ux³du

x²
x³
dx =
2udu
(1 – 3u²)
∫
dx
x
= ∫
2udu
(1 – 3u²)

Passo 3: Efetue todas as simplificações possíveis. Você deverá obter uma equação de variáveis separáveis em u e x.

A integral abaixo pode ser resolvida pelo método de substituição simples, onde k = (1 – 3u²) → dk = -6u du.

∫
2udu
(1 – 3u²)

ln|x| + 1⁄ 3 ln|1 – 3u²| = ln C
ln|x| + 1⁄ 3 ln|1 – 3u²| = C1

Aplicando as propriedades dos logaritmos, tem-se:

x(1 – 3u²)1 ⁄ 3 = C1
Elevando ambos os lados ao cubo, tem-se:

x³(1 – 3u²) = C

Passo 4: Fazer a substituição u = y ⁄ x.

x³(1 – 3u²) = C

x³( 1 – 3
y²
x²
) = C

x³ – 3xy² = C

Portanto, x³ – 3xy² = C é solução geral da equação (x² – y²)dx – 2xydy = 0.