Livro de Matemática

Equivalência lógica

Dadas duas proposições compostas P(p,q,r…) e Q(r,s,t…), dizemos que P é equivalente a Q, podemos também escrever assim: P ⇔ Q, quando suas tabelas-verdade forem rigorosamente iguais.
Como exemplo tem-se que p → q ⇔ ~ p ∨ q.

p q ~p p → q ~p ∨ q
∨ ∨ F ∨ ∨
∨ F F F F
F ∨ ∨ ∨ ∨
F F ∨ ∨ ∨

Equivalências lógicas mais comuns

Comutativa p ^ q ⇔ q ^ p
Comutativa p ∨ q ⇔ q ∨ p
Associativa (p ^ q) ^ r ⇔ p ^ (q ^ r)
Associativa (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Idempotente p ^ p ⇔ p
Idempotente p ∨ p ⇔ p
Absorção p ^ (p ∨ q) ⇔ p
Absorção p ∨ (p ^ q) ⇔ p
Lei de Morgan ~(p ∨ q) ⇔ ~ p ^ ~ q
Lei de Morgan ~(p ^ q) ⇔ ~ p ∨ ~ q
Def implicação p → q ⇔ ~p ∨ q
Negação ~(p → q) ⇔ p ^ ~q
Def implicação p → q ⇔ ~(p ^ ~q)
Def bicondicional p ↔ q ⇔ (p → q) ^ (q → p)
Negação ~(p ↔ q) ⇔ (p ^ ~q) ∨ (q ^ ~p)
Def bicondicional p ↔ q ⇔ (~p ∨ q) ^ (~q ∨ p)

Exemplo: ~(p ^ q) ⇔ ~p ∨ ~q (Lei de De Morgan)
Não é verdade que gosto de vinho e gosto de chocolate. ⇔ Não gosto de vinho ou não gosto de chocolate.

p q ~p ~q p ^ q ~(p ^ q) ~p ∨~ q
∨ ∨ F F ∨ F F
∨ F F ∨ F ∨ ∨
F ∨ ∨ F F ∨ ∨
F F ∨ ∨ F ∨ ∨

Propriedades das equivalências lógicas

  1. Se P(p,q,r…) e Q(r,s,t,…) são ambas tautológicas, então P e Q são equivalentes.
  2. Se P(p,q,r…) e Q(r,s,t,…) são ambas contradições, então P e Q são equivalentes.
  3. p ⇔ p (reflexiva)
  4. Se p ⇔ q então q ⇔ p (simétrica)
  5. Se p ⇔ q e q ⇔ r então p ⇔ r (transitiva)

Proposições associadas a uma condicional

p → q
Proposição recíproca q → p
Proposição contrária ~p → ~q
Proposição contrapositiva ~q → ~p

Qual dessas três proposições na tabela é equivalente à proposição p → q?

Vamos fazer a tabela-verdade de cada uma delas e assim verificaremos quais são equivalentes a p → q.

p q p → q q → p ~p ~q ~p → ~q ~q → ~p
∨ ∨ ∨ ∨ F F ∨ ∨
∨ F F ∨ F ∨ ∨ F
F ∨ ∨ F ∨ F F ∨
F F ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨