Espaços vetoriais
Para iniciar nosso estudo de Álgebra linear é importante ter como pré-requisito os conhecimentos de matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Um espaço vetorial é um conjunto V de vetores sujeitos a duas regras específicas:
• Adição: para quaisquer u e v pertencentes a V, a soma u + v também é um vetor pertencente a V.
• Multiplicação por escalar: para qualquer vetor u pertencente a V e qualquer número real α, o produto αu é um vetor pertencente a V.
Além disso, para um conjunto ser considerado um espaço vetorial é necessário que ele cumpra com oito axiomas, sendo quatro referentes a operação de adição e quatro referentes a operação de multiplicação por escalar.
Propriedades da adição
1. Propriedade pertencimento: se u e v são elementos de V, então u + v é elemento de V.
2. Propriedade comutativa: u + v = v + u
3. Propriedade associativa: u + (v + w) = (u + v) + w
4. Propriedade existência do elemento neutro: u + 0 = 0 + u = u
5. Propriedade existência do elemento oposto: -u + u = u + (-u) = 0
Propriedades da multiplicação por escalar
6. Propriedade pertencimento: Seja α um escalar qualquer e u um elemento de V, então αu é um elemento de V.
7. Propriedade distributiva: α(u + v) = αu + αv
8. Propriedade distributiva 2: (α + β)u = αu + βu
9. Propriedade associativa: α(βu) = (αβ)u
10. Propriedade existência do elemento neutro: 1 * u = u
Os espaços ℝ², ℝ³ e ℝn são espaços vetoriais, ou seja, cumprem com todos os axiomas acima.
Exemplo 1
Seja V o conjunto de números reais positivos e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:
u + v = uv [A adição vetorial é a multiplicação numérica]
αu = uα [A multiplicação vetorial é a exponenciação numérica]
Verifique se V é um espaço vetorial.
Para verificar se um conjunto é um espaço vetorial é fundamental que o conjunto cumpra com todos os oito axiomas mostrados acima.
Axiomas da adição
1. Propriedade pertencimento: se u e v são elementos de V, então u + v é elemento de V.
se u ∈ V e v ∈ V, então u + v = uv ∈ V
V é o conjunto dos números reais positivos.
u ∈ ℝ e v ∈ ℝ, logo u + v = uv ∈ ℝ.
2. Propriedade comutativa: u + v = v + u
u + v = v + u → 2 + 3 = 3 + 2
uv = vu → 2 • 3 = 3 • 2
3. Propriedade associativa: u + (v + w) = (u + v) + w
u + (v + w) = (u + v) + w
u + vw = uv + w → 2 + 3 • 4 = 2 • 3 + 4
uvw = uvw → 2 • 3 • 4 = 2 • 3 • 4
4. Propriedade existência do elemento neutro: u + 0 = 0 + u = u
u + 0 = 0 + u = u
u • 0 = 0 • u = u
u + 1 = u • 1 = u → O elemento neutro aqui é o 1, ou seja, 0 = 1.
5. Propriedade existência do elemento oposto: -u + u = u + (-u) = 0
-u + u = u + (-u) = 0 → 0 = 1
-u + u = u + (-u) = 1
| u | + |
|
= | u |
|
= | 1 |
Axiomas da multiplicação por escalar
6. Propriedade pertencimento: Seja α um escalar qualquer e u um elemento de V, então αu é um elemento de V.
αu = uα
u ∈ V e α ∈ V, logo uα ∈ V
7. Propriedade distributiva: α(u + v) = αu + αv
α(u + v) = αu + αv
αuv = uα + vα
(uv)α = uα • vα
8. Propriedade distributiva 2: (α + β)u = αu + βu
(α + β)u = αu + βu
u(α + β) = uα + uβ
u(α + β) = u(α + β)
9. Propriedade associativa: α(βu) = (αβ)u
α(βu) = (αβ)u
α(uβ) = uαβ
(uβ)α = uαβ
10. Propriedade existência do elemento neutro: 1 * u = u
1 • u = u
u1 = u
Todos os axiomas foram satisfeitos, portanto V é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar.
Exemplo 2
Seja W o conjunto de todos os pares de números reais da forma (x,y) em que x ≥ 0, com as operações padrão de &Rof;². Verifique se W é um espaço vetorial.
Dependendo de como o conjunto se apresenta, não precisamos provar todas as propriedades. Basta mostrar um contra exemplo.
W é o conjunto de todos os pares de números reais da forma (x,y) em que x ≥ 0, ou seja, o primeiro elemento do par é sempre positivo. Isso vai contra uma das propriedades dos espaços vetoriais.
u = (x,y) ∈ W e α ∈ &Rof;, portanto αu ∈ W. Porém se α for negativo teremos -α(x,y) = (-αx, -αy). Visto que, o primeiro elemento do par deve ser sempre positivo, encontramos aqui um contra exemplo, portanto o conjunto W não é um espaço vetorial.
Exemplo 3
Seja V o conjunto de todas as matrizes 2×2 da forma
|
com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar. Verifique se V é um espaço vetorial.
Exemplo 4
Verifique se W, o conjunto de todos os pares de números reais da forma (1,x) com as operações
(1,y) + (1,y’) = (1,y + y’) e α(1,y) = (1,αy)
é um espaço vetorial.