Estruturas algébricas
Seja (A,*) um conjunto e uma operação. Dizemos que A possui uma estrutura algébrica quando definimos em A uma operação interna *.
A estrutura algébrica recebe determinadas classificações dependendo das propriedades satisfeitas pela operação *.
| Propriedade | Classificação |
|---|---|
| Fechamento | Grupoide (magma) |
| Fechamento e associativa | Semigrupo |
| Fechamento, associativa e elemento neutro | Monoide |
| Fechamento, associatividade, elemento neutro e elemento simetrizável | Grupo |
Grupos
Dado um conjunto A com uma operação interna * (estrela) dizemos que * define uma estrutura de grupo em A quando satisfizer as propriedades abaixo:
(x,y) → A = x * y, ∀ x, y ∈ A ⇒ x * y ∈ A
Associativa: x * (y * z) = (x * y) * z
Elemento neutro: x * e = e * x = x
Elemento simétrico: x * x-1 = e
Veja na tabela abaixo alguns grupos importantes.
| Conjunto | Operação | Grupo |
|---|---|---|
| Z | + | Comutativo |
| Q | + | Comutativo |
| (R,+), (C,+), (Q*,.), (R*,.), (C*,.) | Comutativo | |
| (Zm,+) | + | Comutativo |
| Mmxn(Z),Mmxn(Q),Mmxn(R),Mmxn(C) | + | Grupo |
Propriedades imediatas
a) O elemento e de A é único.
b) ∀ x ∈ A existe um único inverso.
c) Para quaisquer x, y ∈ A vale (x * y)-1 = x-1 * y-1.
d) ∀ x ∈ A vale que (x-1)-1 = x
e) Se x, y, z ∈ A e x * y = x * z ⇒ y = z (Lei do cancelamento)
Elementos regulares
Dado um conjunto A e um elemento a dizemos que a é um elemento regular de A se:
1. a * x = a * y ⇒ x = y, ∀ x, y ∈ A
2. x * a = y * a ⇒ x = y, ∀ x, y ∈ A
O conjunto dos elementos regulares de A é escrito como R * (A) = {a,b,c, …}.
Exemplos:
1) 5 é elemento regular para a adição em N, já que 5 + x = 5 + y, logo, x = y ∀ x e y ∈ N.
1) 2 é elemento regular para a multiplicação em Z, já que 2x = 2y, logo, x = y ∀ x e y ∈ Z.
Exemplos
1) Seja (C,+) um conjunto com a operação de adição usual, sendo C = {-2,-1,0,1,2}. Verifique se C é um grupo.
Para que C seja um grupo deve valer as propriedades abaixo:
*. CxC → C
(x,y) → C = x * y, ∀ x, y ∈ C ⇒ x * y ∈ C
Tomemos o elementos 1 e 2 pertencentes a C. Veja que (1,2) → C = 1 + 2 = 3 e 3 ∉ C.
Logo, a operação + não define uma estrutura de grupo em C.
2) Seja (B,.) um conjunto com a operação de multiplicação usual, sendo B = {x ∈ Z | x é impar}. Verifique se B é um grupo.
Para que B seja um grupo deve valer as propriedades abaixo:
*. BxB → B
(x,y) → B = x * y, ∀ x, y ∈ B ⇒ x * y ∈ B
O conjunto B cumpre com as propriedades: associativa e existência do elemento neutro, mas não cumpre com a existência do elemento simetrizável. Para isto, basta escolher um contra-exemplo.
Tomemos o elemento 3 ∈ B. 3 . 3-1 = 1, porém 3-1 = ⅓ e ⅓ ∉ B. Portanto, B não é um grupo.