Ideal de Z
Diz-se que I ⊂ ℤ é um ideal de ℤ se:
- Para todo a, b ∈ I, temos a + b ∈ I.
- Para todo a ∈ I e m ∈ ℤ, temos que m . a ∈ I.
Todo ideal de ℤ é da forma nℤ, para algum inteiro n ≥ 0.
Ou seja, os únicos ideais de ℤ são os conjuntos de múltiplos de algum número.
Exemplos de ideais de ℤ
- 0ℤ = {0} Ideal trivial
- 1ℤ = ℤ Ideal total
- 2ℤ = {0,±;2,±4,±6 …} conjunto dos múltiplos de 2.
- 3ℤ = {0,±3,±6,±9 …} conjunto dos múltiplos de 3.
Teorema de Bézout
O Teorema de Bézout é um clássico da Teoria dos Números e tem uma conexão direta com ideais em ℤ. Ele afirma que o máximo divisor comum de dois números pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Dados dois inteiros a e b, existem inteiros x e y tais que: mdc(a,b) = ax + by
44 ÷ 12 = 3 . 12 + 8
Agora pegamos o divisor 12 e dividimos pelo resto 8.
12 ÷ 8 = 1 . 8 + 4
Novamente pegamos o divisor 8 e dividimos pelo resto 4.
8 = 2 . 4 + 0
Visto que obtemos zero como resto ficamos com a sentença anterior.
12 ÷ 8 = 1 . 8 + 4
o resto 4 é igual ao mdc(12,44) = 4.
Pelo teorema de Bézout temos que mdc(a,b) = ax + by.
mdc(12,44) = 12x + 44y
4 = 12x + 44y e devemos encontrar os valores de x e y.
Das sentenças abaixo vamos isolar os restos.
44 = 3 . 12 + 8
12 = 1 . 8 + 4
8 = 44 – 3 . 12
4 = 12 – 1 . 8 ★
4 = 12 – 1(44 – 3 . 12)
4 = 12 – 1 . 44 + 3 . 12
4 = (1 + 3)12 – 1 . 44
4 = 4 . 12 – 1 . 44
4 = 12(4) + 44(-1)
Portanto, x = 4 e y = -1
Vamos fazer o mesmo processo para os números 30 e 18. Vamos encontrar o mdc(18,30).
30 ÷ 18 = 1 . 18 + 12
18 ÷ 12 = 1 . 12 + 6 ★
12 ÷ 6 = 2 . 6 + 0
30 = 1 . 18 + 12
18 = 1 . 12 + 6 ★ → mdc(18,30) = 6
6 = 18x + 30y
Isolamos os restos.
12 = 30 – 1 . 18
6 = 18 – 1 . 12 ★
6 = 18 – 1(30 – 1 . 18)
6 = 18 – 1 . 30 + 1 . 18
6 = (1 + 1)18 – 1 . 30
6 = 18(2) + 30(-1)
x = 2 e y = -1
Veja sobre Números primos e Teorema fundamental da aritmética antes de prosseguir.