É importante termos bem definidos na mente alguns conceitos matemáticos antes de iniciarmos o assunto sobre equações diferenciais.
Uma equação é toda e qualquer expressão matemática composta de uma expressão algébrica e uma igualdade.
Por exemplo:
I) 3x + 1 = x + 7
II) 2y² – 3y + 7 = 0
Note que uma equação é semelhante a uma balança que deve sempre estar em equilíbrio, ou seja, a quantidade no lado esquerdo deve ser igual à quantidade do lado direito.
Equações diferenciais
Uma equação diferencial é uma equação que contem derivadas. Para resolver este tipo de problema é imprescindível os conhecimentos de derivadas, integrais e seus métodos de integração.
As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao tipo em ordinárias e parciais. As equações acima de 1 até 4 são do tipo ordinárias, pois possuem apenas uma variável independente. As equações 5 e 6 são do tipo parciais, já que apresentam duas variáveis independentes.
As equações diferenciais também podem ser classificadas quanto a ordem. Essa classificação leva em conta o grau da maior derivada presente na equação diferencial.
1. f'(x) + 2f(x) = 2ex
2. f”'(x) + x(f'(x))² = 0
3.
d²y
dx²
+
5(
dy
dx
)³
–
4y
=
ex
A equação em (1) é de ordem 1, em (2) de ordem 3 e a equação em (3) é de ordem 2.
As equações diferenciais também podem ser classificadas quanto a sua linearidade. Uma equação diferencial linear obedece a seguinte forma:
an(x)
dny
dxn
+
an-1(x)
dn-1y
dxn-1
+…+
a1(x)
dy
dx
+
a0(x)y
=
g(x)
an(x)
dny
dxn
+
an-1(x)
dn-1y
dxn-1
+…+
a1(x)
dy
dx
+
a0(x)y
=
g(x)
Vejamos alguns exemplos:
1. (1-x)y” – 4xy’ + 5y = cosx
Equação diferencial linear de ordem 2
2.
x
d³y
dx³
–
2(
dy
dx
)4
+
y
=
0
Equação diferencial não linear, pois possui uma derivada elevada à quarta potência.
3. y.y’ + 2y = 1 + x²
Equação diferencial não linear, pois possui um coeficiente dependente de y e não de x em y.y’.
4. x³y(4) – x²y” + 4xy’ – 3y = 0
Equação diferencial linear de ordem 4.
4.
d²y
dx²
+
9y
=
sen y
Equação diferencial não linear, pois sen y depende de y e não de x.
5.
d²r
dt²
=
-k
r²
Equação diferencial não linear, pois o segundo membro possui um coeficiente dependente de r e não de t.
