MMC e MDC
Mínimo Múltiplo Comum
Consideremos a seguinte situação:
Escreva o conjunto dos múltiplos dos números naturais 15 e 20.
M(15) = { 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}
M(20) = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, …}
Note que os elementos de ambos os conjuntos tendem ao infinito. Além disso, alguns elementos coincidem, como o número 60 e o número 120, se continuarmos o processo encontraremos outros números coincidentes. Portanto, não nos interessa saber qual o maior múltiplo comum entre 15 e 20, pois sempre será possível encontrar um número maior. O que nos interessa, na verdade, é saber qual o menor múltiplo comum entre 15 e 20. Neste caso, podemos notar que é 60.
Portanto o M.M.C.(15,20) = 60.
A obtenção do M.M.C. através de conjuntos se torna trabalhoso. Para agilizar esse processo podemos lançar mão da decomposição em fatores primos.
| 15, | 20 | 2 |
| 15, | 10 | 2 |
| 15, | 5 | 3 |
| 5, | 5 | 5 |
| 1, | 1 | |
A fatoração simultânea de 15 e 20 resulta em 2² x 3 x 5 = 60. Logo, 60 é o M.M.C. de 15 e 20.
Qual o M.M.C. entre 6, 8 e 12?
| 6, | 8, | 12 | 2 |
| 3, | 4, | 6 | 2 |
| 3, | 2, | 3 | 2 |
| 3, | 1, | 3 | 3 |
| 1, | 1, | 1 | |
M.M.C.(6,8,12) = 2³ x 3 = 24
Máximo Divisor Comum
Vamos escrever o conjunto dos divisores dos números naturais 15 e 20.
D(15) = { 1, 3, 5, 15 }
D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
Note que o conjunto dos divisores de um número natural é finito. Também notamos que o número 1 é o menor divisor comum de qualquer número natural, o que não é relevante nesse contexto. O que nos interessa é o maior divisor comum.
Neste caso em particular o Maior Divisor Comum entre 15 e 20 vale 5. Logo, o M.D.C.(15,20) = 5.
Existe uma maneira mais ágil de encontrarmos o M.D.C. entre dois ou mais números quaisquer por meio da decomposição em fatores primos.
| 15 | 3 | 20 | 2 | ||
| 5 | 5 | 10 | 2 | ||
| 1 | 5 | 5 | |||
| 1 | |||||
15 = 3 x 5 e 20 = 2² x 5. O número primo comum nas duas fatorações é o número 5. Logo, 5 é o M.D.C entre 15 e 20.
Qual o M.D.C.(6,8,12)? Se fizermos a decomposição em fatores primos encontraremos:
6 = 2 x 3
8 = 2³
12 = 2² x 3
O M.D.C. será o(s) número(s) primo que repete e com o menor expoente. Veja que o número primo 2 se repete nas três fatorações, portanto, ‘pegamos’ o número 2 com o menor expoente, resultando em M.D.C.(6,8,12) = 2.
Algumas propriedades:
- Fixados a, b ∈ ℤ para todo d ∈ ℤ* temos mdc(da,db) = |d|mdc(a,b)
- Considerando a, b ∈ ℤ não simultaneamente nulos e d = mdc(a,b), nessas condições temos: mdc(a/d,b/d) = 1 .
- Dados a, b ∈ ℤ, se mdc(a,b) = 1 então a e b são chamados primos entre si ou coprimos. Por exemplo: mdc(20,21) = 1. Logo, 20 e 21 são primos entre si. Portanto, para n ≥ 1, mdc(n,n+1) = 1, sendo n e n + 1 primos entre si.
- Dado um inteiro n ≥ 1 ímpar, n e n + 2 são primos entre si, já que mdc(n, n + 2) = 1.
- Se a ∈ ℤ e d = mdc(a, a + n), então d|n. Se d = mdc(a, a + n), então d|a e d|a + n e isso implica que d|(a + n – a) = n.
- Dados a, b, x ∈ ℤ, temos mdc(a,b) = mdc(a, b + ax)