Livro de Matemática

Em Química se estuda o que são substâncias simples e compostas, enquanto as substâncias simples não se decompõem originando outras quando submetidas a agentes físicos, as substâncias compostas, por ação de um agente físico, sofrem reação de decomposição, originando duas ou mais substâncias.

Por exemplo:

• Cloreto de prata →(agente físico: luz) → prata + cloro
• Carbonato de cálcio →(agente físico: aquecimento) → óxido de cálcio + dióxido de carbono

Essa analogia se encaixa perfeitamente quando o assunto são os números primos. No universo dos números, encontramos aqueles que são compostos e aqueles que são “simples”. Usando números simples podemos construir números compostos.

Os números primos são os blocos de construção de todos os outros números. Estes números enigmáticos guardam um segredo que até hoje nenhum matemático foi capaz de descobrir. O fato de não haver uma fórmula mágica que nos conduza de um primo ao próximo deixa qualquer um, que se debruce sobre esse tema, intrigado.

Tome por exemplo, o número 210. Este número é claramente divisível por 5. Portanto, podemos escrever 210 = 5 x 42. O número 5 é indivisível, 42 não é. Podemos escrever 42 = 3 x 14. Novamente temos o número 3 que é indivisível, mas 14 não é. Continuando podemos escrever 14 = 2 x 7. E finalmente, temos que 210 = 2 x 3 x 5 x 7. Os blocos construtivos do número 210 são 2, 3, 5 e 7, além disso, essa escrita é única. Nenhum outro número pode ser escrito dessa forma senão o 210. É como um DNA.

Como saber se um número é primo ou não?

Um número é dito primo se seus únicos divisores forem 1 e ele próprio.

Veja na tabela acima que os números que possuem apenas dois divisores, sendo 1 e o próprio número, são considerados números primos. Matemáticos de todas as épocas buscaram incansávelmente, uma lei que mostrasse todos os números primos. No entanto, o que se conseguiu foram artifícios que encontram primos numa faixa de intervalos.

Crivo de Eratóstenes

O crivo de Eratóstenes é um dispositivo que permite encontrar números primos num certo intervalo. Na tabela abaixo destacamos os números primos no intervalo [1,250].

Para encontrar os números primos procedemos assim:

• O primeiro número da tabela é o número 2 e este é primeiro primo. Em seguida riscamos todos os números que são múltiplos de 2. Serão todos os números pares.
• O próximo número não riscado é o 3. Este número também é primo. Em seguida riscamos todos aqueles números que são múltiplos de 3.
• O próximo número não riscado é o 5 que também é um número primo. Conforme fizemos com os números anteriores, riscamos todos os números que são múltiplos de 5.
• O primeiro número maior do que 5 e que não foi riscado é o 7, que é primo, portanto riscamos os demais múltiplos de 7 na tabela.
• Ao término desse processo, os números que não foram riscados são todos primos.

Veja como a disposição dos números primos não é regular. Note que a diferença de dois primos consecutivos, com exceção de 2 e 3, é de no mínimo 2.

Quando dois primos consecutivos diferem de 2, eles são chamados de primos gêmeos.

Consultando a tabela do crivo de Eratóstenes acima, podemos destacar os pares de primos gêmeos.

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19),(29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73),
(101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
(197, 199), (227, 229), (239, 241).