Operações binárias
Considere um conjunto qualquer A não vazio e utilizando uma operação * (estrela) vamos aplicar esta operação a dois elementos genéricos desse conjunto.
(x,y) → A = x * y
A operação é realizada em dois elementos quaisquer de A. x * y é lido como x operado com y.
Operação de adição em N
A operação de adição é interna ou fechada em N, ou seja, ela está bem definida, já que ao realizar a operação de adição com qualquer elemento de N sempre teremos como resultado um elemento de N.
+. NxN → N
(x,y) → N = x + y ∈ N ∀ x, y ∈ N
Operação de subtração em N
A operação de subtração em N não está totalmente definida.
-. NxN → N
(x,y) → N = x – y
O resultado da operação x – y só pertence a N quando x > y, caso contrário teremos um número negativo. E como sabemos o conjunto dos Naturais não comporta números dessa natureza.
Propriedades das operações binárias
Comutativa
Seja (A,*) um conjunto A munido da operação * e seja (x,y) dois elementos quaisquer desse conjunto. Dizemos que a operação * é comutativa quando x * y = y * x.
Associativa
Uma operação é dita associativa quando x * (y * z) = (x * y) * z.
Elemento neutro
Uma operação admite elemento neutro quando x * e = e * x = x, ∀ x ∈ A.
Elemento simétrico
Uma operação admite elemento simétrico quando x * x-1 = e , ∀ x ∈ A. Isso quer dizer que ao operarmos um elemento qualquer do conjunto A com seu simétrico sempre teremos como resultado o elemento neutro.
Distributiva
Uma operação é dita distributiva quando x ⚀(y Δ z) = (x ⚀ y) Δ (x ⚀ z), ∀ x, y e z ∈ A.