Livro de Matemática

O conjunto dos números naturais, representados pelo símbolo N, é o mais simples de todos os conjuntos numéricos. Os elementos desse conjunto se encontram diluídos no nosso cotidiano de tal forma que nem nos damos conta deles. Veja na lista abaixo como usamos o conjunto dos números naturais no nosso dia-a-dia.

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Percebeu, como os números são ferramentas indispensáveis na nossa vida? Abaixo você pode ver a representação do conjunto dos números naturais.
ℕ = {0,1,2,3,…}
ℕ^* = {1,2,3,…}
O símbolo ℕ^* representa o conjunto dos naturais sem o elemento zero, ou seja, ℕ-{0}.
É fácil perceber que os números que referenciamos na lista acima se encontram dentro do conjunto ℕ. Além disso, a quantidade de elementos do conjunto ℕ é infinita e deixamos isso evidente por meio das reticências (…).

Note que podemos utilizar o conjunto dos naturais para contar subconjuntos dele próprio. O conjunto A acima representa o conjunto dos números naturais pares. Além disso, perceba que é possível associar a todo elemento de A um único elemento de ℕ. Dessa forma, A é obtido por meio de uma relação onde sua lei pode ser escrita como f(x) = 2x, no qual x é qualquer elemento de ℕ.

O que podemos perceber observando o conjunto B em relação ao conjunto ℕ? Note que cada elemento de B é o sucessor de um elemento em ℕ. Ou seja, a relação envolvida é S(n) = n + 1, onde n ∈ ℕ.

Ordem

Existe alguma ordem entre os elementos do conjunto ℕ?

No esquema acima, o elemento a aparece antes do elemento b. Quando isso ocorre escrevemos a < b, e utilizamos o símbolo <, para dizer que a é menor do que b. Também podemos escrever b > a, informando que b é maior do que a. Lembre-se de que a e b podem assumir qualquer valor. Por exemplo:

Propriedades da relação de ordem
Dados a, b ∈ ℕ tem-se que:
Se a ≤ b ↔ ∃ m ∈ ℕ, tal que b = a + m. Note que a < b ↔ ∃ m ∈ ℕ-{0}, tal que b = a + m.

• a ≤ a, ∀ a ∈ ℕ (prop. reflexiva)
• Se a ≤ b e b ≤ a → a = b (prop. anti-simétrica)
• Se a ≤ b e b ≤ c → a ≤ c ∀ a, b e c ∈ ℕ (prop. transitiva)
• Se a ≤ b → a + c ≤ b + c ∀ c ∈ ℕ
• Se a ≤ b → ac ≤ bc ∀ c ∈ ℕ

Dados a e b ∈ ℕ com a < b podemos formar os seguintes intervalos:
[a,b] o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x ≤ b.
(a,b) o conjunto dos números naturais x tais que a < x < b.
Os intervalos acima são chamados de intervalo fechado e aberto, respectivamente.
(a,b] o conjunto dos números naturais x tais que a < x ≤ b.
[a,b) o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x < b.
Já estes podem ser chamados de semiabertos ou semifechados.
Por exemplo:
O intervalo (2,6) = {3,4,5}, ou seja, não são incluídos os extremos, pois o intervalo é aberto.
O intervalo (4,7] = {5,6,7}. Por ser fechado à direita o elemento 7 está incluso.

Princípio da boa ordem:
Todo subconjunto não vazio de ℕ, possui um menor elemento.
Dado um subconjunto A de ℕ, ∃ m ∈ A, tal que m ≤ b, ∀ b ∈ A.
Esse elemento m é chamado mínimo de A e será indicado por m = min A. Se o subconjunto A possuir mínimo, este é único. Por exemplo, o mínimo do conjunto C = {1, 3, 5, 7, …} é 1.
Pode ocorrer também de um conjunto possuir máximo. Dado um conjunto D ⊂ ℕ, D ≠ ∅, se existir um elemento M ∈ D, tal que x ≤ M, ∀ x ∈ D, então M é chamado de máximo de D. Além disso, M é único. Por exemplo, o conjunto E = [2,8] ⊂ ℕ possui M = 8, pois todo elemento tomado de E é menor ou igual a 8. Por outro lado o conjunto {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …} não possui máximo.

Segue abaixo algumas propriedades necessárias sobre o conteúdo abordado.

• a ≤ b e b < c → a < c
• a < b → a + c < b + c
• a + c ≤ b + c → a ≤ b
• (a ≤ b e c ≤ d) → a + c ≤ b + d
• (a < b e c ≠ 0) → ac < bc
• (a < b e c ≤ d) → a + c < b + d
• c ≤ b → a(b – c) = ab – ac