Livro de Matemática

Representação decimal dos números naturais

Nós adotamos o sistema de numeração decimal posicional. O nome decimal tá relacionado ao fato de usarmos 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e é dito posicional, pois cada algarismo, além do seu valor intrínseco, possui um peso que lhe é atribuído em função de sua posição dentro da sequência.

1.545 = 1 x 10³ + 5 x 10² + 4 x 10¹ + 5 x 100 Número 1.545 representado no sistema decimal. Portanto, temos dez símbolos para escrevermos qualquer número que quisermos, além disso dependendo da posição que o símbolo ocupa no número o seu peso será diferente. Veja por exemplo o algarismo 5 em 1.545. O primeiro 5 da direita para a esquerda vale 5 unidades, em seguida o algarismo 4 vale 4 dezenas, em seguida, novamente o algarísmo 5, neste caso vale 5 centenas e por último o algarísmo 1 vale uma unidade de milhar.

1 . 5 4 5
        5 unidades
      4 dezenas
    5centenas
1 unidade de milhar
Sistema de numeração

Nosso sistema de numeração é de base 10, por isso recebe o nome de sistema de numeração decimal.
A ideia de base pode ser explicada da seguinte forma: um certo número natural b > 1 é escolhido como base; isso significa que um agrupamento de b unidades simples (de primeira ordem) forma uma unidade de segunda ordem, um agrupamento de b unidades de segunda ordem forma uma unidade de terceira ordem, e assim por diante. No sistema decimal 10 unidades forma uma dezena, 10 dezenas uma centena, 10 centenas uma unidade de milhar…

Para exemplificar vamos efetuar divisões sucessivas do número 34.278 por 10.

1ª divisão:

  3 4 2 7 8 10
– 3 4 2 7 0 3427
8

Até este ponto temos:
– 3.427 grupos de 10
– 8 unidades (resto)
2ª divisão:

  3 4 2 7 10
– 3 4 2 0 342
7

Até este ponto temos:
– 7 grupos de 10 (resto)
– 342 grupos de 100 (10²)

3ª divisão:

  3 4 2 10
– 3 4 0 34
2

Até este ponto temos:
– 34 grupos de 1000 (10³)
– 2 grupos de 100 (10²)

4ª divisão:

  3 4 10
– 3 0 3
4

Até este ponto temos:
– 3 grupos de 10.000 (104)
– 4 grupos de 1000 (10³)

Portanto, (34.278)10 = 3.104 + 4.10³ + 2.10² + 7.10¹ + 8.100.

Vamos agora efetuar divisões sucessivas do número 29 por 2. Reforço que o estamos fazendo é agrupando de 2 em 2.

  2 9 2
– 2 8 14
1


1 unidade
14 grupos de 2

  1 4 2
– 1 4 7
0


1 unidade
(14 grupos de 2 se tornam ↓)
0 grupo de 2
7 grupos de 4

  7 2
– 6 3
1


1 unidade
0 grupo de 2
1 grupo de 4
3 grupos de 8

  3 2
– 2 1
1


1 unidade
0 grupo de 2
1 grupo de 4
1 grupo de 8
1 grupo de 16

(29)10 = 2.10¹ + 9.100 → na base 10
(29)2 = (11101)2 → na base 2 ou binário
(29)2 = 1.24 + 1.2³ + 1.2² + 0.2¹ + 1.20

Em termos de classificação, a cada três ordens, contadas da direita para a esquerda, constituem uma classe e essas são separadas por um ponto.

Classe das unidades
Unidades 1ª ordem
Dezenas 2ª ordem
Centenas 3ª ordem
Classe do milhar
Unidades de milhar 4ª ordem
Dezenas de milhar 5ª ordem
Centenas de milhar 6ª ordem
Classe do milhão
Unidades de milhão 7ª ordem
Dezenas de milhão 8ª ordem
Centenas de milhão 9ª ordem