Livro de Matemática

As soluções das equações diferenciais podem se apresentar de diversas formas. A solução de uma equação diferencial será sempre uma função f(x,y). Além disso, uma função f(x,y) será solução de uma equação diferencial quando ao ser substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade.

Por exemplo:

(1) y’’ – y’ = 2 – 2x

Essa equação diferencial diz que a segunda derivada de uma função (menos) a primeira derivada desta mesma função resulta em 2 – 2x. Que função é essa?
Note que derivando duas vezes obteve-se 2 e derivando uma vez obteve-se 2x. Para descobrirmos a função original, utilizamos a integração.

Portanto, a função original é y = x² + C, sendo C uma constante arbitrária.

(2) yy’ + x = 0 tem como solução a função implícita x² + y² = C.

Fazendo a diferenciação implícita obtem-se:

x² + y² = C
(x²)’ + (y²)’ = (C)’
2x + 2yy’ = 0
2(x + yy’) = 0
x + yy’ = 0
yy’ + x = 0

Você percebeu? A solução em (1) foi y = x² + C e em (2) x² + y² = C. A solução de uma equação diferencial pode ser expressa explicitamente ou implicitamente bem como pode ser classificada em geral, particular ou singular.

y = x² + C é solução geral da equação diferencial y’’ – y’ = 2 – 2x. Isso quer dizer que y = x² + C faz parte de uma família de funções onde a constante arbitrária C pode assumir qualquer valor. Dada uma condição inicial onde y(0) = 4, obtem-se:

y(0) = 0² + C
4 = 0 + C
C = 4

Logo, obtemos y = x² + 4. Esta solução é chamada solução particular, visto ser a única que obedece a condição de passar pelo ponto (0,4).

Uma solução singular não possui relação alguma com a solução geral nem com a solução particular bem como não apresenta constantes arbitrárias. São poucas as equações que possuem esse tipo de solução.