Livro de Matemática

Na figura acima V é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar. W₁ e W₂ são subconjuntos de V. Mas é fácil perceber que W₁ é subespaço vetorial de V e W₂ não é. W₁ é subespaço vetorial de V, porque sendo u e v ∈ W₁, u + v ∈ W₁. Da mesma forma, sendo α ∈ ℝ e v ∈ W₁, αv ∈ W₁. Desta forma, W₁ é fechado na adição e multiplicação por escalar.

W₂ não é subespaço vetorial de V pelo simples fato de a soma e a multiplicação por escalar produzir vetores fora de W₂.

Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
a) Dados quaisquer u e v ∈ W, u + v ∈ W.
b) Dado qualquer α ∈ ℝ e qualquer u ∈ W, αu ∈ W.

Visto ser W um subconjunto de V, não se faz necessário provar todos os 10 axiomas para espaço vetorial, já que alguns são herdados de V. É necessário provar apenas os axiomas 1 e 6.

Axioma 1: Dados quaisquer u e v ∈ V, u + v ∈ V.
Axioma 6: Dado qualquer α ∈ ℝ e qualquer u ∈ V, αu ∈ V.