Livro de Matemática

Para entendermos o conceito de limite vamos observar o comportamento de algumas sequências numéricas:

1) Sequência dos números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, …

Note que conforme avançamos na sequência, sempre haverá um novo número primo, ou seja, existem infinitos números primos. Então, se considerarmos L o limite da sequência, podemos dizer que L tende a infinito. O mesmo é válido para a sequência de números pares (2,4,6,8,…) ou ímpares (1,3,5,7,…).

2) Sequência de números racionais:

Neste caso os valores do numerador e denominador estão crescendo indefinidamente, porém a razão entre eles está se aproximando de 1. Portanto, o limite desta sequência está tendendo a 1.

Assim como dissemos anteriormente, que L tendia a certo valor, podemos dizer também que uma função f(x) tende a certo limite L ao passo que x se aproxima de um determinado valor a, ou seja, dizemos que o limite de f(x) é L, quando x tende a a, se os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L quando os valores de x ficam cada vez mais próximos de a. E representamos isso algebricamente como:

Vamos ver um exemplo.

Exemplo

Seja a função f(x) = x² – 4x + 3. Calcule o limite da função nos seguintes casos:
a) Quando x tende a zero (x → 0).
b) Quando x tende a 2 (x → 2).
c) Quando x tende a 3 (x → 3).
d) Quando x tende a infinito (x → ∞).
e) Quando x tende a menos infinito (x → -∞).

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Antes de começarmos vamos fazer uma breve análise da função. A função dada é um polinômio do segundo grau. Veja o esboço do gráfico desta função.

A função não é restrita, logo seu domínio é o conjunto dos números reais. Já o conjunto imagem é dado por

y ∈ ℝ | y ≥

– Δ . 4a

a)	lim	(x2 – 4x + 3)	= 3
	x→0

Para encontrarmos o valor do limite para funções que não geram indeterminações apenas substituimos a variável x pelo valor para o qual x se aproxima. Neste caso como x se aproxima de zero, substituimos a variável x por zero. Logo, 0² – 4*(0) + 3 = 3. Portanto, o limite procurado é 3. Então, quando x se aproxima de 0 tanto pela direita quanto pela esquerda, f(x) se aproxima de 3.

b)	lim	(x2 – 4x + 3)	= -1
	x→2

(2)² – 4(2) + 3 = -1

c)	lim	(x2 – 4x + 3)	= 0
	x→3

Veja que 3 é uma das raizes da função. Neste ponto f(x) vale zero. É razoável pensar que quando x se aproxima de 3, f(x) se aproximará de zero.

d)	lim	(x2 – 4x + 3)	= ∞
	x→∞

Veja no gráfico abaixo que a medida que x cresce indefinidamente, f(x) também cresce indefinidamente. Logo, o limite procurado é ∞.

e)	lim	(x2 – 4x + 3)	= ∞
	x→-∞

É fácil perceber pelo gráfico que a medida que x avança pelo lado negativo, f(x) cresce indefinidamente. Desta forma, o limite de f(x) quando x tende a -∞ é ∞.

Definição formal de limite

Seja f(x) definida num intervalo k, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, ou seja, escolhendo-se um ε>0, deverá existir um δ>0, tal que |f(x) – L|<ε sempre que 0 <|x – a|<δ.