Derivadas de funções simples de uma variável
O cálculo de derivadas pelo processo de limites se torna bastante trabalhoso e demorado. Por isso, criou-se técnicas ágeis para facilitar os cálculos. Você pode recorrer à Tabela de derivadas e utilizar a regra mais adequada ao seu problema.
Exemplo 1
Encontre a derivada da função f(x) = x5.
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
f(x) = x5
f'(x) = 5 * x5- 1
f'(x) = 5x4
Exemplo 2
Encontre a derivada da função f(x) = x5/6.
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
f(x) = x5/6
f'(x) = 5/6 * x5/6 – 1
f'(x) = 5/6 * x– 1/6
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
= |
|
Exemplo 3
Encontre a derivada da função:
| f(x) | = |
|
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
A função do problema pode ser reescrita como f(x) = x-5
f(x) = x-5
f'(x) = -5* x-5 – 1
f'(x) = -5* x-6
| f'(x) | = |
|
Exemplo 4
Encontre a derivada da função f(x) = √x.
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
A função do problema pode ser reescrita como f(x) = x1/2
f(x) = x1/2
f'(x) = 1/2 * x1/2 – 1
f'(x) = 1/2 * x– 1/2
| f'(x) | = |
|
= |
|
Exemplo 5
Encontre a derivada da função h(x) = 4x³ – x² + 3x – 2.
h(x) = 4x³ – x² + 3x – 2
h'(x) = 4 * 3x² – 2x + 3 – 0
h'(x) = 12x² – 2x + 3
Exemplo 6
Encontre a derivada da função f(x) = (3x² + x)(4 – x4).
A função f(x) = (3x² + x)(4 – x4) é uma multiplicação de duas funções h(x) = (3x² + x) e g(x) = (4 – x4).
f(x) = h(x)g(x)
f'(x) = h(x)g'(x) + h'(x)g(x)
f'(x) = (3x² + x)(4 – x4)’ + (3x² + x)'(4 – x4)
f'(x) = (3x² + x)(-4x³) + (6x + 1)(4 – x4)
f'(x) = -4x³(3x² + x) + (24x – 6x5 + 4 – x4)
f'(x) = – 12x5 – 4x4 + 24x – 6x5 + 4 – x4
f'(x) = – 18x5 – 5x4 + 24x + 4
Exemplo 7
Encontre a derivada da função:
| f(x) | = |
|
A função f(x) é a divisão de duas funções h(x) e g(x).
| f(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
Exemplo 8
Encontre a derivada da função f(x) = 5tgx + 3senx.
Na função f(x) = 5tgx + 3senx temos as constantes 5 e 3 que multiplicam as funções tgx e senx, respectivamente.
A derivada da função tgx é sec²x e a derivada da função senx é cosx. Logo, f'(x) = 5sec²x + 3cosx.
Exemplo 9
Encontre a derivada da função:
| f(x) | = |
|
– | 2 lnx | + | 5 arccosx |
A função pode ser reescrita como:
f(x) = 3x-1 – 2lnx + 5arccosx
f'(x) = -3x-2 – 2(1/x) + 5(-1/(√(1 – x²)))
| f'(x) | = |
|
– |
|
– |
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Exemplo 10
Encontre a derivada da função f(x) = 3x + arctgx.
Regras utilizadas:
h(x) = ax
h'(x) = axlna
g(x) = arctgx
| g'(x) | = |
|
| f'(x) | = | 3xln3 | + |
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