Livro de Matemática

Exercícios de introdução para fixar o conceito teórico.

Arcos e ângulos, comprimento de arco e arcos côngruos

1. Expresse em rad:
   a) 210º
   b) 350º
   c) 67º30′
   d) 25º20′
   e) 1/6 da medida da circunferência
   f) 2/5 da medida da circunferência
   Resposta:
   a) 7π/6 rad
   b) 35π/18 rad
   c) 3π/8 rad
   d) 19π/135 rad
   e) π/3 rad
   f) 4π/5 rad
2. Qual é, em radianos, o ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio, num período de 25 minutos?
   Resposta: 5π/6 rad
3. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio:
   a) às 9h10min
   b) às 12h15min
   c) às 8h20min
   Resposta: a) 145º b) 82º30′ c) 130º
4. (UFOP-MG) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500km em torno de uma pista circular de raio 200m. Calcule o número aproximado de voltas que ele deve dar. Use π = 3,14.
   Resposta: 400 voltas
5. Exprima em graus:
   a) π/6 rad
   b) 2π/3 rad
   c) 5π/6 rad
   d) 11π/3 rad
   e) 3π/5 rad
   Resposta:
   a) 30°
   b) 120°
   c) 150°
   d) 660°
   e) 108°
6. Um atleta A desenvolve, numa pista circular de raio 500 m, a velocidade constante de 8 km/h. Determine, em radianos, a medida do arco descrito, bem como seu comprimento, após 15 minutos de percurso.
   Resposta: 4 rad; 2 km
7. Escreva, em radianos, as medidas dos ângulos centrais formados na figura abaixo.
   

   Resposta: 1rad e (2π – 1)rad
8. Um pêndulo de 1,2 m de comprimento oscila entre os pontos A e B através de um ângulo de 15º. Qual é o comprimento da trajetória descrita, entre A e B, pela sua extremidade?
   

   Resposta: 31,4 cm
9. Qual o comprimento da chapa metálica necessário para confeccionar a peça de fixação, em forma de U, mostrada na figura? As medidas indicadas estão em centímetros. Considere π = 3,14.
   

   Resposta: aaaaa
10. As duas polias da figura giram simultaneamente por estarem ligadas por uma correia inextensível. Quantos graus deve girar a menor polia para que a maior dê uma volta completa?
    

    Resposta: 600°
11. Sabe-se que, em um segundo, um ponto situado na periferia de uma polia descreve um arco que subtende um ângulo central de 10π rad. Se o raio dessa polia é 1,5 m, qual será a distância percorrida por esse ponto em um segundo?
    Resposta: 47,10 m
12. Admitindo-se ser a terra uma esfera de raio r = 6375 km, determine a distância do equador a um ponto situado a uam latitude 30° norte. Adote π = 3,14.
    Resposta: 3336,25 km
13. O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12 cm. Quantos centímetros sua extremidade percorre durante 25 min?
    Resposta: 31,4 cm
14. (Unicamp-SP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°.
    Resposta: 13h24min
15. Quantas voltas completas dá e em qual quadrante pára um móvel que, partindo da origem A dos arcos, percorre um arco de:

    a) 1875°?
    b) 2310°?
    c) 27π/4 rad?
    d) 43π/10 rad?

    Resposta: a) 5; I Q b)6; II Q c) 3; II Q d) 2; I Q
16. Verifique se são côngruos os seguintes pares de arcos:

    a) 1850° e -670°
    b) 19π/3 e 25π/3

    Resposta: a) sim b) sim
17. Vamos calcular os arcos menores que 4π e côngruos a 55π/6 rad.
    Resposta: 7π/6 e 19π/6
18. Sejam os pontos X e Y mostrados no ciclo trigonométrio da figura abaixo.
    

    a) Quais são os números reais x e y, associados aos pontos X e Y, respectivamente, com 0 ≤ x ≤ 2π e 0 ≤ y ≤ 2π?
    b) Dê as medidas dos arcos XPY e XQY.
    c) Forneça os comprimentos dos arcos XPY e XQY.

    Resposta: a) π/6 e 5π/4 b) 195° e 165° c) 13π12 e 11π/12

Exercícios de introdução para fixar o conceito teórico.

Seno, Cosseno e Tangente

1. Determine o valor de:

   a) sen 900°
   b) sen(-1620°)
   c) sen 13π

   d)	sen π 2 – sen π 3 sen π 6

   e)	sen π 4 • sen 4π 3 sen² 5π 6

   Resposta: a) zero b) zero c) zero d) 2 – √3 e) – √6
2. Sabendo que x = π/6, determine o valor da expressão E = 1 – 2sen x + sen² x.
   Resposta: 1/4
3. Dê o sinal de cada uma das expressões:

   a) sen π/5 • sen π/3 • sen 3π/5 • sen 5π/3
   b) (1 – sen x)(1 + sen x), x ∈ R
   c) sen 111° – sen 110°

   Resposta: a) negativo b) positivo ou nulo c) negativo
4. Sendo k ∈ Z, calcule, em cada caso, o valor de sen x, com:

   a) x = (2k + 1)•π
   b) x = (2k + 1)• π/2
   c) x = π/4 + kπ
   d) x = – π/3 + 2kπ ou x = – 2π/3 + 2kπ

   Resposta: a) 0 b) ± c) ± √2 / 2 d) – √3 / 2
5. (U.F. Pelotas-RS, adaptado)
   “Josiane Soares, de Blumenau, é a dona da marca no lançamento de dardo, com 53,1 m, estabelecida durante a primeira etapa do troféu Brasil de atletismo, encerrada neste domingo, em Curitiba. Três outros recordes do campeonato foram quebrados e uma marca sul-americana juvenil também.” (Sidney, 2000)
   (Zero Hora, 2000)

   
   Numa prova olímpica de lançamento de dardo, a trajetória descrita é representada graficamente por uma parábola. A distância atingida pelo dardo é dada por:

   x =	v² • sen 2α g

   em que α é o ângulo de lançamento, v é a velocidade inicial, x, a distância em relação à horizontal e g, o valor da gravidade (considere g = 10 m/s²).
   Com uma velocidade de 20 m/s, qual a maior distância obtida em três lançamentos consecutivos, sabendo-se que os ângulos de lançamento foram 30°, 45° e 60°? Compare as distâncias alcançadas nos outros dois casos.

   Resposta: no 2º lançamento (x = 40 m); os outros dois ângulos de lançamento fornecem alcances iguais.
6. Escreva a expressão geral dos arcos x para os quais temos sen x = ± √3 / 2.
   Resposta: π/3 + kπ ou 2π/3 + kπ, k ∈ Z
7. Calcule o valor da expressão

   y =	sen π 3 – 2 • sen π 6 sen 3π 2 – 3 • sen π 2

   Resposta:

   2 – √3

   8

8. Obtenha os valores reais de m para que se possa ter

   sen x =	2 – m
   	3

   Resposta: -1 ≤ m ≤ 5, m ∈ R
9. Calcule o valor da expressão y = sen π + sen 2π + … + sen 15π.
   Resposta: zero
10. Sendo f:R → R a função definida por f(x) = sen x:

    a) calcule f(3π/4)
    b) determine x tal que 0 ≤ x ≤ 2π e f(x) = 1/2.

    Resposta: a) √2/2 b) π/6 ou 5π/6