Livro de Matemática

Você com certeza deve se lembrar dos sistemas abaixo, não é?

2x + 3y = 7 3x – y = 16

4x + 3y = 1 2x – 5y = -2

Estes sistemas apresentam duas equações e duas variáveis, x e y. Um sistema linear é muito mais robusto, pois possui m equações e n variáveis.
Um sistema linear possui a seguinte estrutura.

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 … + … + … + … + … + … … … + … + … + … + … + … … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bn

Matrizes associadas a um sistema

Não sei se você percebeu, mas na matemática tudo parece estar interligado. Observe o sistema linear acima. Ele pode ser representado por matrizes. Podemos fazer isso de duas maneiras. A primeira é montando a matriz incompleta do sistema.

A segunda maneira é montar a matriz aumentada do sistema. Neste modelo acrescentamos a coluna dos termos independentes.

Exemplo

Represente o sistema abaixo na forma de matrizes.

x1 + 3x2 – x3 = 3 2x1 + x2 + 3x3 = 11 4x1 + 3x2 + 2x3 = 9

Primeiro vamos construir a matriz incompleta do sistema. Nela usamos apenas o coeficientes.

A =	1 3 -1 2 1 3 4 3 2

Agora construimos a matriz aumentada do sistema acrescentando a coluna dos termos independentes.

B =	1 3 -1 3 2 1 3 11 4 3 2 9

Representação matricial de um sistema linear

Dado um sistema linear genérico:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 … + … + … + … + … + … … … + … + … + … + … + … … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bn

A sua representação matricial é dada da seguinte maneira.

A nova estrutura é composta pela matriz dos coeficientes multiplicada pela matriz coluna das variáveis tendo como resultado a matriz coluna dos termos independentes. Efetuando a operação chegamos ao sistema linear original.