Dois sistemas lineares S1 e S2 são ditos equivalentes quando admitem o mesmo conjunto solução.
Os sistemas abaixo são equivalentes, pois ambos admitem o par (5, 7) como única solução.
Desta maneira podemos dizer que para se ter um sistema linear equivalente é só efetuar uma das operações abaixo:
- Permutar duas equações: Ei « Ej com i = 1,…,m e j = 1,…,m;
- Multiplicar uma equação por um número real k diferente de zero: Ei = k * Ei com i = i,…,m;
- Substituir uma equação por sua soma com outra previamente multiplicada por um número real k diferente de zero: Ei = Ei + k * Ej com i = 1,…,m e j = 1,…,m;
Exemplo
Vamos aplicar as propriedades anteriores no sistema linear abaixo:
Este sistema possui como conjunto solução a tripla (1, -3, 2).
| S = |
 |
| x – y – z |
= 2 |
| 2x – 4y + z |
= 16 |
| -x + 5y + 3z |
= -10 |
|
A primeira propriedade nos diz que se trocarmos as posições de duas equações teremos um novo sistema equivalente ao primeiro.
Então vamos trocar as posições da primeira e da terceira equações; E1 « E3. Logo o novo sistema S1 é equivalente a S. Veremos que se aplicarmos a tripla (1, -3, 2) como solução obteremos uma verdade, ou seja, S1 é equivalente a S.
| S1 = |
|
| E1 |
-x + 5y + 3z |
= -10 |
| E2 |
2x – 4y + z |
= 16 |
| E3 |
x – y – z |
= 2 |
|
A segunda propriedade nos diz que se multiplicarmos uma equação do sistema por um número k qualquer diferente de zero, obteremos um novo sistema equivalente ao original. Vamos multiplicar a terceira equação de S1 por 3, ou seja, E3 = 3 * E3. O novo sistema será:
| S2 = |
|
| E1 |
-x + 5y + 3z |
= -10 |
| E2 |
2x – 4y + z |
= 16 |
| E3 |
3x – 3y – 3z |
= 6 |
|
Então, S1 é equivalente a S2. Aplicando a tripla (1, -3, 2) como solução nos sistemas S1 e S2 veremos que o resultado será verdadeiro.
Por último foi dito que se substituirmos uma equação por sua soma com outra previamente multiplicada por um número real k diferente de zero também teremos um novo sistema equivalente. Vamos substituir a equação 1 efetuando a seguinte operação: E1 = E1 + 1/2 E2. Obteremos então um novo sistema equivalente ao primeiro.
| S3 = |
|
| E1 |
3y + 7/2z |
= -2 |
| E2 |
2x – 4y + z |
= 16 |
| E3 |
3x – 3y – 3z |
= 6 |
|
Logo, S, S1, S2 e S3 são equivalentes.
Escalonamento
Para entendermos o que é escalonamento vamos ver dois exemplos de sistemas escalonados.
| S1 = |
|
|
| S2 = |
|
| x + y + z + t |
= -1 |
| y – 2z -t |
= 0 |
| z + t |
= 3 |
| t |
= 2 |
|
Em primeira mão o que podemos perceber é que a quantidade de variáveis vai diminuindo a cada equação. Note também como fica a matriz aumentada de cada sistema na forma escalonada.
| T = |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
| 0 |
1 |
-2 |
-1 |
0 |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
3 |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
|
Para escalonar um sistema é preciso lançar mão de alguns artifícios:
- Trocar a posição de duas ou mais linhas.
- Multiplicar uma linha por um número k qualquer.
- Substituir uma linha por sua soma com outra, estando esta última multiplicada ou não por um número k qualquer.
Exemplo 1
Vamos escalonar e resolver o sistema abaixo:
|
| 3x – y + z |
= 2 |
| x – 2y – z |
= 0 |
| 2x + y + 2z |
= 2 |
|
Passo 1: Inicialmente, construimos a matriz aumentada do sistema.
| 3 |
-1 |
1 |
2 |
| 1 |
-2 |
-1 |
0 |
| 2 |
1 |
2 |
2 |
|
Passo 2: Neste exemplo vamos trocar a posição das linhas 1 e 2. Logo, L1 « L2.
| 1 |
-2 |
-1 |
0 |
| 3 |
-1 |
1 |
2 |
| 2 |
1 |
2 |
2 |
|
Passo 3: Fixaremos a linha 1. A partir de agora ela não será mais alterada. Ela será usada para realizar os cálculos com as demais linhas.
L2 ¬ L2 + (-3)L1.
| L2: |
3 |
-1 |
1 |
2 |
| -3L1: |
-3 |
6 |
3 |
0 |
| |
0 |
5 |
4 |
2 |
| 1 |
-2 |
-1 |
0 |
| 0 |
5 |
4 |
2 |
| 2 |
1 |
2 |
2 |
|
Veja que reduzimos uma variável na linha 2. Agora vamos procurar reduzir o número de variáveis na linha 3. L3 ¬ L3 + (-2)L1.
| L3: |
2 |
1 |
2 |
2 |
| -2L1: |
-2 |
4 |
2 |
0 |
| |
0 |
5 |
4 |
2 |
| 1 |
-2 |
-1 |
0 |
| 0 |
5 |
4 |
2 |
| 0 |
5 |
4 |
2 |
|
Eliminamos uma variável na linha 3. Agora fixamos a linha dois e repetimos o processo a fim de diminuir mais uma variável da linha 3. L3 ¬ L3 – L2.
| L3: |
0 |
5 |
4 |
2 |
| -L2: |
0 |
-5 |
-4 |
-2 |
| |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
-2 |
-1 |
0 |
| 0 |
5 |
4 |
2 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
|
Visto que temos uma linha de zeros, esta pode ser suprimida da matriz sem afetar os cálculos. Assim obtemos o sistema escalonado abaixo:
|
| x – 2y – z |
= 0 |
| 5y + 4z |
= 2 |
|
Veja que o sistema na forma escalonada ficou com duas equações e três variáveis.
z é a variável livre do sistema, então:
5y + 4z = 2 Þ 5y = 2 – 4z Þ
Substituindo y na primeira equação vem:
Fazendo z = a temos:
O sistema é (SPI) possível e indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções.
