Livro de Matemática
Sumário
Representação genérica
São utilizadas letras maiúsculas para representar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os elementos. Para uma matriz A do tipo m x n, um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo aij, no qual o índice i refere-se à linha em que se encontra tal elemento e o índice j refere-se à coluna em que se encontra o elemento. Esta matriz também pode ser escrita através de uma fórmula ou lei de formação A = (aij)m x n. Note que 1£ i £ m e 1 £ j £ n.
| A = |
|
Note que m e n ΠN*.
Assim temos:
a11 (lê-se: a um um) elemento localizado na 1ª linha e 1ª coluna.
a32 (lê-se: a três dois) elemento localizado na 3ª linha e 2ª coluna.
Exemplo
Encontre os elementos da matriz A = (aij)3 x 3 em que aij = i2 + j2.
A representação genérica da matriz é:
| A = |
|
Usamos a lei de formação para obter os dados da matriz.
| aij = i2 + j2 fi | a11 = 12 + 12 = 2 a12 = 12 + 22 = 5 a13 = 12 + 32 = 10 a21 = 22 + 12 = 5 a22 = 22 + 22 = 8 a23 = 22 + 32 = 13 a31 = 32 + 12 = 10 a32 = 32 + 22 = 13 a33 = 32 + 32 = 18 |
Logo a matriz A = (aij)3 x 3 em que aij = i2 + j2 é representada por:
| A = |
|
Matrizes especiais
Algumas matrizes são ditas especiais. Veja abaixo quais são:
Matriz linha: é a matriz formada por uma única linha.
Exemplo: A = (3, 4, 6) é uma matriz linha 1 x 3.
Matriz coluna: é a matriz formada por uma única coluna.
Exemplo:
| A = |
|
É uma matriz coluna 3 x 1 |
Matriz nula: é a matriz cujos elementos são todos iguais a zero.
Exemplo:
| A = |
|
É uma matriz nula 2 x 3 |
Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.
Exemplo:
| A = |
|
É uma matriz quadrada 3 x 3. Dizemos que A é quadrada de ordem 3.
Outro ponto interessante que pode ser notado numa matriz quadrada é a diagonal principal. Ela é formada pelos elementos cujo índice da linha é igual ao índice da coluna.
| A = |
|
Veja a semelhança com a matriz genérica.
| A = |
|
A outra diagonal é chamada diagonal secundária de A.
| A = |
|
Matriz Identidade: é a matriz de ordem n em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são todos iguais a zero. A matriz identidade é representada por In.
Exemplo:
| I2 = |
|
É uma matriz identidade de ordem 2 |
| I3 = |
|
É uma matriz identidade de ordem 3 |
Matriz transposta: é a matriz obtida pela inversão das linhas pelas colunas da matriz original. Se a matriz A é de ordem m x n, a transposta de A (denominamos At) será de ordem n x m.
Exemplo:
| A = |
|
É uma matriz de ordem 2 x 3 |
| At = |
|
É uma matriz de ordem 3 x 2 |
Note que o que é linha na matriz A se torna coluna na matriz At.
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn são iguais se cada elemento da matriz A for igual ao elemento correspondente (que ocupa a mesma posição) da matriz B.
Exemplo
Calcule x e y, sabendo que
|
= |
|
Vamos inicialmente gerar a matriz genérica que representa o problema.
|
= |
|
Veja que nesta representação a11 é igual a b11. O elemento a11 está substituindo o valor 2x + 3y e o elemento b11 está substituindo o valor 7. Logo, 2x + 3y = 7. Desta forma podemos montar o sistema:
| { | 2x + 3y | = 7 |
| 3x – y | = 16 |
Para resolvermos este sistema precisamos eliminar uma variável. É fácil perceber que se multiplicarmos a segunda linha do sistema por 3 poderemos cancelar a variável y. Então vamos multiplicar a linha 3x – y = 16 por 3.
| { | 2x + |
= 7 |
| 9x – |
= 48 |
Veja que ao somarmos as duas linhas a variável y será cancelada. Então fazemos:
2x + 9x = 7 + 48
11x = 55
x = 5.
Agora substituimos o valor 5 encontrado para x na primeira linha do sistema. Veja:
2x + 3y = 7
2(5) + 3y = 7
10 + 3y = 7
3y = 7 – 10
3y = -3
y = -1
Logo, os valores de x e y que tornam as duas matrizes iguais é x = 5 e y = -1.
Adição e subtração de matrizes
Dadas duas matrizes, A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, a matriz soma A + B será a matriz C = (cij)m x n, em que cij = aij + bij para todo i e todo j. O processo é idêntico no caso da subtração.
Exemplo
| Sendo A = | ||||||||||
|
e B = |
|
temos:
| A + B = | ||||||||||
|
+ |
|
| A + B = | ||||
|
| A + B = | ||||
|
Da mesma forma
| A – B = | ||||||||||
|
– |
|
| A – B = | ||||
|
| A – B = | ||||
|
Multiplicação de um número real por uma matriz
Para multiplicar um número real por uma matriz basta multiplicar cada elemento da matriz pelo número real, e o resultado será uma matriz de mesma ordem. Dada uma matriz A = (aij)m x n e um número real k, chama-se produto de k por A a matriz B = (bij)m x n, onde bij = k . aij, com i Î {1, 2, 3, …, m} e j Î {1, 2, 3, …, n}.
Exemplo
| Sendo a matriz A = | ||||||
|
calcule 5 * A.
A nova matriz B = 5 * A. logo:
| B = 5 * | ||||||
|
| B = | ||||||
|
| B = | ||||||
|
Multiplicação de matrizes
A multiplicação de matrizes exige um pouco mais de atenção. Para ficar mais fácil o entendimento vamos utilizar dois exemplos.
Exemplo 1
Uma doceira produz dois tipos de doces, A e B. Para a produção desses doces são utilizados os ingredientes X, Y e Z, conforme indica a tabela.
| DOCES | ||
|---|---|---|
| A | B | |
| X | 5 | 8 |
| Y | 3 | 2 |
| Z | 4 | 7 |
A tabela será representada pela matriz A:
| A = |
|
Suponhamos que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20 doces do tipo B, por dia. Essa quantidade de doces pode ser representada pela matriz coluna:
| B = |
|
Se quisermos determinar a quantidade de ingredientes X, Y e Z utilizada por dia, devemos proceder da seguinte forma:
| Ingrediente X: | 5 * 50 + 8 * 20 = 410 |
| Ingrediente Y: | 3 * 50 + 2 * 20 = 190 |
| Ingrediente Z: | 4 * 50 + 7 * 20 = 340 |
Essas quantidades podem ser representadas pela matriz C:
| C = |
|
Podemos obter a matriz C, denominada produto de A por B, da seguinte forma:
| A * B = C = |
|
* |
|
= |
|
Veja que, no exemplo anterior, veja que uma matriz A = (aij)3 x 2 multiplicada por outra matriz B = (bij)2 x 1 resultou numa matriz C = (cij)3 x 1. Veja a representação genérica.
| A * B = C = |
|
* |
|
= |
|
Veja outro exemplo para melhor compreensão do assunto.
Exemplo 2
Suponhamos que o jornal esportivo O Esporte, circule em todo o país. Seu preço varia de acordo com o estado em que é vendido, pois leva em consideração a distância com o estado de São Paulo, onde ele é produzido.
As bancas de jornal “Leia já”, que distribuem o jornal O Esporte, fazem parte de uma rede com sede em São Paulo e filiais em Belo Horizonte, Salvador e Recife.
O proprietário da rede decidiu, durante uma semana, fazer um levantamento sobre a arrecadação gerada pelas vendas do jornal, a fim de estimar qual fração dessa receita as vendas de domingo representam.
Na semana em que foi realizado o levantamento, foram vendidas as seguintes quantidades:
| Número de exemplares vendidos |
||
|---|---|---|
| Cidade | de segunda-feira a sábado |
domingo |
| São Paulo | 248 | 46 |
| Belo Horizonte | 93 | 32 |
| Salvador | 62 | 29 |
| Recife | 57 | 25 |
Na tabela abaixo, é possível encontrar o preço de venda do jornal O Esporte em cada cidade citada:
| Cidade | Preço (em reais) |
|---|---|
| São Paulo | 1,50 |
| Belo Horizonte | 2,00 |
| Salvador | 2,60 |
| Recife | 3,00 |
Qual foi a receita obtida pelas vendas de O Esporte de segunda-feira a sábado nessas cidades? E no domingo?
1º Cálculo da receita obtida pelas vendas de segunda-feira a sábado:
Vamos representar a tabela do número de exemplares vendidos pela matriz A.
| A = |
|
E a tabela referente ao preço de venda pela matriz B.
| B = |
|
Note que a matriz A é do tipo 4×2, e a matriz B do tipo 4×1. O resultado que esperamos encontrar só será possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. Para isso, devemos gerar a transposta da matriz A.
| A * B = C = |
|
* |
|
| A * B = C = |
|
Veja que o valor 890,20 = 248 * 1,50 + 93 * 2 + 62 * 2,60 + 57 * 3.
Perceba que a matriz A = (aij)2 x 4, ao ser multiplicada pela matriz B = (bij)4 x 1, resultou na matriz C = (cij)2 x 1.
Dos exemplos anteriores, decorre que, dadas as matrizes A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p, o produto A * B será a matriz C = (cik)m x p, em que um elemento qualquer cik é obtido da seguinte maneira:
cik = ai1 * b1k + ai2 * b2k + … + ain * bnk
Matriz inversa
Considere um número real a. O inverso de a é a-1 ou 1/a.
Quando multiplicamos a por a-1 obtemos como resultado 1, ou seja, a * 1/a = 1.
Vejamos como isso se aplica no caso das matrizes.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma matriz B tal que A*B = B*A = In, dizemos que a matriz B é a matriz inversa de A e indicamos por A-1.
Exemplo
Determinar a inversa da matriz
| A = |
|
Para isso fazemos
| A-1 = |
|
Sabemos que A * A-1 = I2. Logo temos:
|
* |
|
= |
|
|
= |
|
Primeiro sistema:
| { | 10a + 2c | = 1 |
| 4a + c | = 0 |
Para resolvermos o sistema acima multiplicamos a segunda linha do sistema 4a + c por -2.
| { | 10a + |
= 1 |
| -8a – |
= 0 |
Ao somarmos as duas linhas do sistema, ficamos com:
2a = 1
a = 1/2.
Agora, substituímos o valor de a em uma das linhas do sistema original. A linha escolhida será a segunda 4a + c = 0.
4(1/2) + c = 0
2 + c = 0
c = -2.
A solução do primeiro sistema é S = {1/2, -2}.
Segundo sistema:
| { | 10b + 2d | = 0 |
| 4b + d | = 1 |
A solução deste sistema é similar ao primeiro. Devemos multiplicar a segunda linha 4b + d = 1 por -2, ficando o sistema assim:
| { | 10b + |
= 0 |
| -8b – |
= -2 |
Somando as duas linhas do sistema, temos:
2b = -2
b = -1
Novamente, substituímos o valor de b numa das linhas do sistema original. A linha escolhida será 4b + d = 1. Logo:
4(-1) + d = 1
-4 + d = 1
d = 1 + 4
d = 5
A solução deste sistema é S = {-1,5}
Note que as soluções encontradas são os elementos da matriz inversa.
|
= |
|
Exercícios – Matriz
Exercícios de introdução para fixar o conceito teórico.
Introdução as matrizes
-
Dada a matriz B = (bij) de ordem 4 x 3, em que bij = i – j2, calcule o elemento b41.
Resposta: 3
-
Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que aij = i2 + j2.
Resposta:
2 5 10 5 8 13 10 13 18 -
Calcule a soma dos elementos da segunda coluna da matriz B = (bij)2 x 3, em que bij = 2i + j – 1.
Resposta: 8
-
Construa a matriz A = (aij)3 x 3 definida por
aij = { (-1)i + j, se i ¹ j 0, se i = j Resposta:
0 -1 1 -1 0 -1 1 -1 0 -
Determine a soma dos elementos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A = (aij) de ordem 4, em que aij = i – j.
Resposta: zero
-
Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 6?
Resposta: 36
-
A matriz D seguinte representa as distâncias (em km) entre as cidades X, Y e Z:
D = 0 15 27 15 0 46 27 46 0
Cada elemento dij dessa matriz fornece a distância entre as cidades i e j. Se a cidade X é representada pelo número 1, Y por 2 e Z por 3:
a) Determine as distâncias entre X e Y, Z e X e Y e Z.
b) Qual é a transposta da matriz D?Resposta:
a) X e Y = 15 km, X e Z = 27 km, Y e Z = 46 km
b) a própria matriz D. -
(Unifor-CE) Diz-se que uma matriz quadrada é simétrica se ela for igual à sua matriz transposta. Determine x e y a fim de que a matriz
2 -1 x2 – 4 x + 1 1 2y 0 2 + y 2
seja simétrica.Resposta:
x = -2 e y = 2 -
(Covest-PE) Eric necessita de complementos das vitaminas A e C. Diariamente precisa de pelo menos 63 unidades de A e no mínimo 55 unidades de C. Ele pode escolher entre os compostos I e II, que apresentam, por cápsula, as características abaixo:
Composto Vitamina A Vitamina C Valor R$ I 7 unidades 4 unidades 0,70 II 4 unidades 5 unidades 0,50 Composto Vitamin A Vitamina C R$ I 7 unid 4 unid 0,70 II 4 unid 5 unid 0,50 Qual o gasto mínimo diário de Eric, em reais, com os compostos I e II?
Resposta: R$ 7,00 -
(UF-RJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:
S = 4 1 4 0 2 0 3 1 5 e D = 5 5 3 0 3 0 2 1 3
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, e sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3. Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele mesmo bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no final de semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?Resposta:
a) Cláudio (15 chopes)
b) 2 -
Resposta: 3
Determinantes
O que você vai estudar:
- Definição
- Determinante de uma matriz de 2ª ordem
- Menor complementar
- Cofator
- Regra de Sarrus
- Teorema de Laplace
- Propriedades dos determinantes
- Determinante de matriz inversa
- Calculando área e volume com determinantes
Definição de determinante
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada de ordem n.
Só é possível calcular determinante de matriz quadrada?
Sim, o cálculo do determinante é uma propriedade específica de matrizes quadradas, ou seja, aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas. A definição do determinante só se aplica a essas matrizes.
Se você tem uma matriz retangular (não quadrada), não é possível calcular o determinante. No entanto, existem outras operações e propriedades que você pode aplicar a matrizes retangulares, como a transposição, multiplicação por escalares, adição de matrizes, etc.
Para uma matriz quadrada n×n, o determinante é uma função que associa a matriz a um número real. O cálculo do determinante pode ser feito de várias maneiras, sendo a expansão por cofatores e o método de eliminação de Gauss dois dos métodos mais comuns. O determinante de uma matriz é frequentemente usado em álgebra linear e em várias disciplinas matemáticas e científicas.