Livro de Matemática

No plano cartesiano acima foram determinados dois pontos distintos A e B. Nosso objetivo inicial é encontrar a distância entre eles. Para isso vamos encontrar as coordenadas de A e B.
O ponto A possui coordenadas (x₁,y₁), ou seja, A(x₁,y₁) e B possui coordenadas (x₂,y₂), ou seja, B(x₂,y₂).
Note na figura B que os pontos A, B e P formam um triângulo reto em P. Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:

(d_AB)² = (d_AP)² + (d_BP)²
(d_AB)² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²

Dados dois pontos A e B distintos, como calcular as coordenadas do ponto médio do segmento AB? Sabemos que A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) e M(a,b).
Da semelhança de triângulos tem-se que o ΔAMC ~ ΔABP. Logo:

AP = 2AC

x₂ – x₁ = 2(a – x₁)
x₂ – x₁ = 2a – 2x₁
x₂ – x₁ + 2x₁ = 2a
x₂ + x₁ = 2a

Procedendo da mesma forma, sobre o eixo y, encontramos que:

Portanto, as coordenadas do ponto M(a,b) são:

A figura acima nos mostra três pontos A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) e C(x₃,y₃), colineares, ou seja, são pontos de uma mesma reta. Como podemos provar, algebricamente, a colinearidade de três pontos?

Observando a figura, tem-se que: ΔABD ~ ΔACE. Portanto:

(x₃ – x₁)(y₂ – y₁) = (x₂ – x₁)(y₃ – y₁)

(x₃ – x₁)(y₂ – y₁) – (x₂ – x₁)(y₃ – y₁) = 0

Outra forma de representar a proporção acima é por meio de uma matriz. Quando o determinante da matriz resultar em zero, os três pontos estarão alinhados.

Equação geral da reta

Um dos postulados de incidência nos diz que dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém.

Partindo desse princípio a figura acima nos mostra três pontos distintos pertencentes a uma reta r. Dois de seus pontos são conhecidos, a saber, os pontos A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂). O ponto C (x,y) é genérico. Visto que os pontos A, B e C pertencem a mesma reta, logo estão alinhados. Já aprendemos que o determinante da matriz abaixo quando retorna zero, comprova a colinearidade de três pontos.

Desenvolvendo o determinante:

x₁y₂ + xy₁ + x₂y – xy₂ – x₂y₁ – x₁y = 0

x(y₁ – y₂) + y(x₂ – x₁) + (x₁y₂ – x₂y₁) = 0

Os valores x₁, x₂, y₁ e y₂ são conhecidos e podemos fazer:

y₁ – y₂ = a

x₂ – x₁ = b

x₁y₂ – x₂y₁ = c

por fim, teremos:

Essa é a forma geral da equação da reta.

Inclinação e coeficiente angular de uma reta

Na sequência de figuras acima podemos ver a mesma reta r com diversas inclinações. Cada inclinação exibe um α, e é a medida desse α que é chamada de inclinação da reta r. Note que no caso em que α = 90° não é possível determinar a inclinação da reta r, visto que tg α não é definida. E na situação em que a reta r é paralela ao eixo das abscissas, a sua inclinação é zero, ou seja, tg α = 0.

Coeficiente angular ou declividade de uma reta r é o número real m resultado da tangente trigonométrica de sua inclinação α, ou seja: m = tg α.

Dados dois pontos A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂) pertencentes a uma reta r, o coefieciente angular dessa reta pode ser calculado como:

Por meio da relação acima podemos encontrar uma equação bastante conhecida. Consideremos uma reta r que passa pelo ponto P(x₁,y₁) e tem coeficiente angular m. Em seguida, tomamos um ponto Q(x,y) qualquer sobre a reta r, sendo Q ≠ P. Da fórmula acima tem-se:

Essa fórmula recebe o nome engraçado de “Yoyô me chichô”. Isso é um recurso para facilitar a memorização pelos alunos. Essa é a fórmula da equação de uma reta que passa por um ponto conhecido e cujo coeficiente angular também foi fornecido.

Equação reduzida da reta

Podemos encontrar a equação reduzida da reta a partir da equação geral ax + by + c = 0 e também a partir da equação y – y₁ = m(x – x₁). Vejamos cada caso.

A partir da equação geral

ax + by + c = 0
by = -ax – c

Chamando -a/b de m e -c/b de n, tem-se:

A partir da equação y – y₁ = m(x – x₁)

y – y₁ = m(x – x₁)

Para esta parte vamos considerar o ponto de coordenadas (0,b).

y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b

Onde m é o coeficiente angular da reta e b o ponto, onde a reta corta o eixo das ordenadas.

Equação segmentária da reta

Para encontrarmos a equação segmentária da reta vamos analisar os pontos onde a reta r contar os eixos coordenados. De acordo com a figura acima essas interseções ocorrem nos pontos (a,0) e (0,b). Já sabemos encontrar a equação de uma reta conhecidos o coeficiente angular e um de seus pontos.

y – y₁ = m(x – x₁)

Multiplicando ambos os lados por a, tem-se:

ay = -bx + ab
bx + ay = ab

Dividindo ambos os lados por ab, tem-se:

Equações paramétricas da reta

Parametrizar uma curva significa poder escrever as coordenadas de um ponto genérico de uma curva em função de outra variável, geralmente se utiliza a letra t.

x = f(t) , t ∈ ℝ y = g(t)

t funciona como parâmetro e a medida que seu valor é alterado, obtém-se novos pontos da curva. Esse conceito será facilmente entendido por meio de um exemplo.

Exemplo

Uma reta r passa pelos pontos (3,0) e (0,2). Encontre:

a) Sua equação geral
b) Sua equação reduzida
c) Sua equação segmentária
d) Uma de suas equações paramétricas

---

a) Encontrando a equação geral

3 0 1 0 2 1 x y 1

= 0

Resolvendo o determinante, obtemos 2x + 3y – 6 = 0.

b) Encontrando a equação reduzida da reta

y – y₁ = m(x – x₁)

m

=

2 – 0 0 – 3

=

-2 3

y – 0

=

-2 3

(x – 3)

y

=

-2 3

x

+

2

c) Encontrando a equação segmentária

2x + 3y = 6

2x 6

+

3y 6

=

6 6

x 3

+

y 2

=

1

d) Encontrando a equação paramétrica da reta

2x + 3y – 6 = 0
2x = 6 – 3y

x

=

3

–

3 2

y

x

=

3

(1 –

1 2

y)

x = 3t

(1 –

1 2

y)

=

t

y = 2 – 2t

x = f(t) = 3t , t ∈ ℝ y = g(t) = 2 – 2t

Portanto, com a variação de t podemos obter os pontos da reta r.

t	x	y	ponto
-1	-3	4	P(-3,4)
0	0	2	Q(0,2)
1	3	0	R(3,0)
2	6	-2	S(6,-2)
⁝	⁝		⁝

Um plano contem diversos elementos e estes por sua vez podem ou não interagir entre si. Vamos criar uma imagem mental onde determinada área urbana possa servir de plano para nosso estudo. Nessa área urbana temos ruas. Dessas ruas algumas são paralelas enquanto outras se cruzam.
Levando essa área urbana a um plano abstrato, as ruas serão retas que terão as mesmas propriedades, tanto de serem paralelas quanto de se cruzarem.

Considere duas retas r e s, não verticais de coeficientes angulares α e β, respectivamente.
Podem ocorrer dois casos.
1º caso: α = β

Se α = β ⇒ tg α = tg β, concluimos que:

O coefiente angular de ambas as retas é o mesmo. Portanto, as retas r e s são paralelas.
2º caso: α ≠ β

Se α ≠ β ⇒ tg α ≠ tg β, concluimos que:

As retas r e s são concorrentes, pois seus coefiecientes angulares são diferentes.
Todo par de retas concorrentes possui um ponto em comum. Na figura acima o ponto em comum das retas r e s é P. Além disso, as retas formam um ângulo θ ao se cruzarem, permitindo assim obtermos mais informações sobre a situação.

Ângulo formado por duas retas concorrentes

Na figura M abaixo, as retas r e s se intersectam no ponto P formando entre si um ângulo θ.

1º caso: θ = 90º
No triângulo APB, pela Geometria Plana, tem-se:

β = α + θ
β = α + 90º

tg β = tg (α + 90º)

Como tg α = m_r e tg β = m_s, tem-se:

Quando a relação acima ocorrer dizemos que as retas r e s são perpendiculares.

2º caso: 0 < θ < 90º

Nesse caso nossa intenção é descobrir o valor de θ.

No triângulo APB, pela Geometria plana, tem-se:

β = α + θ
θ = β – α
tg θ = tg (β – α)

Como tg α = m_r e tg β = m_s, tem-se:

Caso uma das retas seja vertical, teremos:

Dados um ponto P(x_p,y_p) e uma reta r de equação ax + by + c = 0 deseja-se calcular a distânia entre essa reta e o ponto dado. Para isso traçamos um segmento perpendicular a reta r passando por P.

Note que traçando uma reta vertical em x_p, esta intersecta r em P(x_p,y_q). Até o momento são conhecidas as coordenadas x_p, y_p e a equação da reta r ax + by + c = 0. Visto que, o ponto Q faz parte da reta r podemos escrever a equação da reta da seguinte forma:

ax + by + c = 0
a(x_p) + b(y_q) + c = 0
b(y_q) = – a(x_p) – c

Vamos guardar essa informação.

Note que se formaram dois triângulos retângulos. Da equação reta conhecemos o coefiente angular, portanto podemos trabalhar como o ângulo α formado pela reta e o eixo das abscissas. Pelas propriedades dos triângulos sabemos que o ângulo α reaparece no triângulo superior.

Da trigonometria tem-se que:

A equação da reta já nos fornece o coeficiente angular.

ax + by + c = 0
by = -ax – c
y = (-a/b) x – c/b

(-a/b) é o coeficiente angular da reta r. Esse mesmo coeficiente pode ser encontrado fazendo-se:

Já vimos que:

d(P,r) = |y_p – y_q|.cos α.

Conceitos elementares

Dados um ponto C fixo e um número real r positivo, a circunferência de centro em C e raio r, é o conjunto de todos os pontos equidistantes de C, ou ainda, o conjunto de todos os pontos cuja distancia d(CB) = r.
Na circunferência podemos observar alguns elementos fundamentais, são eles: raio, diâmetro e corda.

– Raio é a distância de qualquer ponto pertencente à circunferência até o seu centro. Ex: Figura A: segmento CB.
– Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Ex: Figura B: segmento AB.
– Corda é um segmento de reta que une dois pontos de uma circunferência. Ex: Figura B: segmento CD.

Na figura acima é dada uma circunferência de centro no ponto Q(a,b) e raio r. O ponto P(x,y) genérico pertence à circunferência se, e somente se: d(Q,P) = r. Da fórmula da distância entre pontos tem-se:

d_QP = √(x – a)² + (y – b)²
√(x – a)² + (y – b)² = r

Esta é a equação reduzida da circunferência, em que:

– a e b são as coordenadas do centro da circunferência;
– r é o raio da circunferência;
– x e y são as coordenadas do ponto genérico P.

Forma geral da equação da circunferência

Vamos desenvolver a fórmula abaixo:

(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

Fazendo:

A = -2a
B = -2b
C = a² + b² – r²

Tem-se: