Livro de Matemática

Você deve se lembrar do desenho abaixo quando iniciou no estudo da matemática.

Começando pelos números naturais(N), em seguida pelos números inteiros(Z), depois pelos números reais(R) (junção dos números racionais(Q) e irracionais(I)) e por último o conjunto dos números complexos(C). Através da figura percebemos que o conjunto dos números reais é um subconjunto dos números complexos.

Até a descoberta dos números complexos tudo o que se tinha era o conjunto dos números reais. Alguns resultados de cálculos começaram a incomodar os matemáticos. Alguns destes resultados apareciam como √-1. É de conhecimento daqueles que se familiarizam com a matématica, que não existe raiz de número negativo no conjunto dos números reais. Na busca pela solução da √-1 criou-se, então, um número cujo quadrado é -1. Esse número foi representado pela letra i e nomeado de unidade imaginária.

Com esta descoberta é possível resolver equações onde o Δ é negativo. Vamos resolver a equação x² + 2x + 5 = 0.

Por delta e Bháskara temos:
Δ = b² – 4*a*c
Δ = 2² – 4*1*5
Δ = -16

No final ficamos com duas raízes:

x’ = -1 + 2√-1 , x” = -1 – 2√-1

Visto que i = √-1 as raízes da equação ficarão assim:

x’ = -1 + 2i , x” = -1 – 2i

Considere o par ordenado genérico (x,y), onde x ∈ R e y ∈ R. São válidas as definições abaixo:

• Igualdade: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d
• Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
• Multiplicação: (a,b) * (c,d) = (ac – bd, ad + bc)

Todo par ordenado da forma (x,0) pode ser representado pelo número real x, ou seja, x = (x,0).

O que chamou a atenção dos matemáticos é a multiplicação do par ordenado (0,1) por ele mesmo, ou seja, (0,1) * (0,1).
(0,1) * (0,1) = (- 1 , 0)
Do exposto acima podemos concluir que (-1,0) = -1. Logo, foi encontrado um elemento que multiplicado por ele mesmo resulta em -1.

Então, podemos dizer que o conjunto dos números complexos, que representamos pela letra C, é o conjunto dos pares ordenados de números reais que segue a seguinte lei.

Z ∈ C ⇔ Z = (x,y), sendo que x ∈ R e y ∈ R

Veja como se obtem um número complexo Z = (x,y).
Z = (x,y) = (x,0) + (y,0)
= (x,0) + (y * 0 – 0 * 1 , y * 1 + 0 * 0)
= (x,0) + (y,0) * (0,1)
Visto que (x,0) = x e (y,0) = y e (0,1) = i
podemos escrever (x,y) = x + yi ou Z = x + yi

Esta é a forma algébrica de um número complexo. Z é o número complexo, a é chamada de parte real de Z ou Re(Z), b é chamada de parte imaginária de Z ou Im(Z). Lembrando que a e b ∈ R.

Z = a + 0i = a
Quando a parte imaginária de Z é nula, o número é real.

Z = 0 + bi = bi
Quando a parte real de Z é nula, o número é dito imaginário puro.

Exemplos:

• Z = 2 + 5i é um número imaginário ou complexo
• Z = 4i é um número imaginário puro. Sua parte real é nula, ou seja, Z = 0 + 4i
• Z = 8 é um número real. A parte imaginária é nula, ou seja, Z = 8 + 0i

Note que a parte real de dois números complexos conjugados é igual e a parte imaginária é simétrica.

Adição e Subtração

Dados dois números complexos genéricos z₁ = a + bi e z₂ = c + di.

A soma z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

A diferença z₁ – z₂ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Multiplicação

Dados dois números complexos genéricos z₁ = a + bi e z₂ = c + di.

A multiplicação z₁ * z₂ = (a + bi) * (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.

(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi²

ac + (ad + bc)i – bd, pois i² = -1

ac – bd + (ad + bc)i

Exemplo 1

Calcule:

a) (5 + i)(2 – i)

b) (3 + 4i)²

---

a) Vamos utilizar a propriedade distributiva.

(5 + i)(2 – i)
10 – 5i + 2i – i²
10 – 3i + 1
11 – 3i

b) (3 + 4i)²
Dos produtos notáveis sabemos que (a + b)² = a² + 2ab + b². Então:
(3 + 4i)² = 3² + 2*3*4i + (4i)²
9 + 24i + 16i²
9 + 24i – 16
-7 + 24i

Exemplo 2

Determine x e y de modo que (4 + i)(x – 2i) = y + ¹/₂i.

---

(4 + i)(x – 2i) = y + ¹/₂i

4x – 8i + xi – 2i² = y + ¹/₂i

4x – 8i + xi + 2 = y + ¹/₂i

4x + 2 + (x – 8)i = y + ¹/₂i

A partir daqui caimos numa igualdade de números complexos.

4x + 2 = y x – 8 = 1/2

Da segunda equação temos:
x – 8 = ¹/₂ ⇒ x = ¹/₂ + 8 = ¹⁷/₂

Agora substituimos x na primeira equação.
4x + 2 = y
4(¹⁷/₂) + 2 = y
34 + 2 = y
y = 36

S = {¹⁷/₂, 36}

Divisão

Sejam dois números complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di, a divisão de z₁ por z₂ segue o esquema abaixo.

Lembre-se que multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador não altera o resultado da fração.

Do conjunto dos números reais temos que dado um número real a e n um inteiro positivo, a expressão aⁿ representa o produto de n fatores, todos iguais a a, ou seja:

Na expressão acima aⁿ, o número real a é chamado de base e n é chamado de expoente.

No conjunto dos números complexos não é diferente. Veja abaixo algumas potências de i:

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = – 1
i³ = i² * i = (-1) * i = -i

Continuando o processo veja o que acontece.

i⁴ = i³ * i = (-i) * i = -i² = 1
i⁵ = i⁴ * i = 1 * i = i
i⁶ = i⁵ * i = i * i = i² = -1
i⁷ = i⁶ * i = -1 * i = -i

Note que os resultados repetem-se de 4 em 4.

Então, para calcular potências de i, basta dividir o expoente n, lembrando que n deve ser inteiro e positivo, por 4:

• Se o resto for 0, iⁿ = 1
• Se o resto for 1, iⁿ = i
• Se o resto for 2, iⁿ = -1
• Se o resto for 3, iⁿ = -i

Veja o motivo:

n = 4q + r (0 ≤ r ≤ 3)

iⁿ = i^{4q + r}
iⁿ = i^4q * i^r
iⁿ = (i⁴)^q * i^r
iⁿ = 1^q * i^r
iⁿ = 1 * i^r
iⁿ = i^r

A figura acima representa o tão conhecido plano cartesiano que tudo indica ter sido uma contribuição de René Descartes. Descartes foi capaz de fundir a álgebra e a geometria criando fórmulas e números com os quais era possível alternar entre as duas. O gráfico acima representa um plano bidimensional onde cada ponto pode ser descrito por dois números, ou um par ordenado, um que dá a posição horizontal e o segundo que dá a posição vertical. Na figura o ponto P(a,b) é representado pelos números reais a (indicando a posição horizontal no eixo das abscissas) e b (indicando a posição vertical no eixo das ordenadas).

Veja no gráfico abaixo como é incrível poder entender o que Descartes propôs.

No gráfico perceba o ponto P(a,b) movendo-se e descrevendo uma trajetória com formato circular. A medida que o ponto vai se movendo ao longo do círculo, as suas coordenadas mudam. Além disso é possível criar uma equação que identifica os valores variáveis destes números em qualquer ponto da figura.

No caso dos números complexos a ideia foi associar ao número complexo z = a + bi o ponto P(a,b) do plano cartesiano xOy, onde, por convenção marcamos a parte real de z no eixo horizontal e a parte imaginária de z no eixo vertical.

O ponto P(a,b) é chamado de afixo ou imagem geométrica de z.

Por meio da figura abaixo seremos capazes de identificar e definir os conceitos de módulo e argumento de um número complexo.

Dado um número complexo genérico z = a + bi, podemos representá-lo num plano cartesiano conforme figura acima. A parte real de z está indicada no eixo horizontal e a parte imaginária no eixo vertical. A distância do ponto P(a,b) até a origem e indicada pela letra ρ (letra grega que se lê: “rô”) é o módulo do número complexo.

Note que ρ é obtido aplicando o teorema de Pitágoras onde ρ² = a² + b².

A medida do ângulo θ formado por ρ com o eixo real é o argumento do número complexo z. O ângulo θ deve satisfazer a condição 0 ≤ θ < 2π.

Observe que:

Os números ρ e θ são as coordenadas polares do ponto P(a,b) do plano e determinam a posição do ponto no plano.

Nota:

Multiplicar um Número Complexo por i é o mesmo que rotacioná-lo em 90º no sentido anti-horário. Portanto, dado z = a + bi ao fazermos (a + bi) * i teremos (a + bi) * i = -b + ai

Dado um número complexo z = a + bi, vimos que o argumento θ satifaz as seguintes condições:

A forma trigonométrica ou polar é apenas uma consequência dos conceitos anteriores. Quando substituimos a e b por ρ*cosθ e ρ*senθ, respectivamente, obtemos a forma trigonométrica.

z = a + bi
z = ρ*cosθ + ρ*senθ i
z = ρ(cosθ + i*senθ)

Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica

Dados dois números complexos z₁ = ρ₁(cosθ + i*senθ) e z₂ = ρ₂(cosβ + i*senβ), a multiplicação z₁ * z₂ = ρ₁*ρ₂[cos(θ + β) + isen(θ + β)].

Divisão de números complexos na forma trigonométrica

Dados dois números complexos z₁ = ρ₁(cosθ + i*senθ) e z₂ = ρ₂(cosβ + i*senβ), a divisão será:

Potenciação de números complexos na forma trigonométrica

Dado um número complexo z = ρ(cosθ + i*senθ), ao elevarmos z ao expoente n teremos zⁿ = ρⁿ(cos(nθ)+isen(nθ)).

A fórmula acima é devida ao matemático francês Abraham de Moivre e é chamada de Fórmula de Moivre.

Radiciação de números complexos na forma trigonométrica

Dado um número complexo z = ρ(cosθ + i*senθ) e o número natural n (n ≥ 2), então poderemos encontrar n raízes enésimas de z. Estas raízes serão da forma:

K = 0,1,2, …, n-1

Por exemplo: