Livro de Matemática
Sumário
Equações diferenciais de primeira ordem de variáveis separáveis
Seja a equação diferencial
|
(x) | = | F(x;y) |
Onde F(x;y) é uma função que depende da variável x e da própria função y.
No caso das equações de variáveis separáveis pode ocorrer as seguintes situações:
1° caso: As variáveis já se encontram separadas e portanto aplicamos os procedimentos de integração.
P(x)dx = Q(y)dy
| ∫ | P(x)dx | = | ∫ | Q(y)dy |
2° caso: As variáveis se encontram misturadas sendo necessário aplicar procedimentos algébricos para separá-las e em seguida as técnicas de integração.
P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 → recebemos a equação nesse formato
P(x)dx = Q(y)dy → aplicamos procedimentos algébricos e chegamos neste formato
| ∫ | P(x)dx | = | ∫ | Q(y)dy |
Integramos ambos os lados e encontramos a solução.
Exemplo 1
Resolva a equação diferencial (x + 5)dx – (2 – y)dy = 0.
(x + 5)dx – (2 – y)dy = 0
(x + 5)dx = (2 – y)dy
P(x)dx = Q(y)dy
Veja que nesse caso, as variáveis já se encontram separadas. Portanto, já podemos integrar dos dois lados.
| ∫ | (x + 5)dx | = | ∫ | (2 – y)dy |
|
+ | 5x + C1 | = | 2y | – |
|
+ C2 |
x² + 10x + 2C1 = 4y – y² + 2C2
x² + y² + 10x – 4y = C, onde C = 2C1 – 2C2
Exemplo 2
Resolva a equação diferencial xcos(y) dy = (x + 1)sen(y) dx.
xcos(y) dy = (x + 1)sen(y) dx
Devemos separar as variáveis colocando o que tem x com dx e o que tem y com dy.
|
dy | = |
|
dx |
P(x)dx = Q(y)dy
A partir de agora integramos ambos os lados.
| ∫ |
|
dy | = | ∫ |
|
dx |
| ∫ | cotg(y) | dy | = | ∫ |
|
+ |
|
dx |
| ∫ | cotg(y) | dy | = | ∫ | 1 | + |
|
dx |
ln|sen(y)| = x + ln|x| + C
eln|sen(y)| = ex + ln|x| + C
eln|sen(y)| = ex*eln|x|*eC
sen(y) = exxeC
sen(y) = xexC, onde C = eC.
Equações homogêneas
Uma equação diferencial do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é dita homogênea de grau m toda vez que as funções M e N forem homogêneas de mesmo grau m, sendo m um número real.
Uma função f(x,y,z) homogênea obedece a igualdade abaixo:
f(kx,ky,kz) = kmf(x,y,z)
Onde m, é o grau de homogeneidade da função.
Exemplo 1
Verificar o grau de homogeneidade da função f(x,y,z) = 2x² – 5xy + yz.
Vamos substituir x por kx, y por ky e z por kz.
f(kx,ky,kz) = 2k²x² – 5kxky + kykz
f(kx,ky,kz) = 2k²x² – 5k²xy + k²yz
f(kx,ky,kz) = k²(2x² – 5xy + yz)
f(kx,ky,kz) = k²f(x,y,z)
Portanto, a função acima é homogênea de grau 2.
Exemplo 2
A função f(x,y) = πx³ – ey² é homogênea?
Vamos substituir x por kx e y por ky.
f(kx,ky) = πk³x³ – ek²y²
f(kx,ky) = k²(kπx³ – ey²)
Veja que não foi possível remover o k da função. Portanto, a função não é homogênea.
Exemplo 1
Verificar se a equação diferencial (x² + y²)dx + (x² – xy)dy = 0 é homogênea.
Veja que a equação (x² + y²)dx + (x² – xy)dy = 0 é composta por duas funções:
M(x,y) = (x² + y²)dx
N(x,y) = (x² – xy)dy
Se as funções M e N forem homogêneas e de mesmo grau, então a equação diferencial será homogênea.
M(x,y) = (x² + y²)dx
M(kx,ky) = (k²x² + k²y²)dx
M(kx,ky) = k²(x² + y²)dx
M é homogênea de grau 2.
N(x,y) = (x² – xy)dy
N(kx,ky) = (k²x² – kxky)dy
N(kx,ky) = (k²x² – k²xy)dy
N(kx,ky) = k²(x² – xy)dy
N é homogênea de grau 2.
Portanto, a equação (x² + y²)dx + (x² – xy)dy = 0 é homogênea de grau 2.
Exemplo 2
Resolva a equação (x² – y²)dx – 2xydy = 0.
Passo 1: verifique se a equação é efetivamente homogênea.
(x² – y²)dx – 2xydy = 0.
M(x,y) = (x² – y²)dx é homogênea de grau 2.
N(x,y) = -2xydy é homogênea de grau 2.
Portanto, (x² – y²)dx – 2xydy = 0 é homogênea de grau 2.
Passo 2: Faça a substituição de variáveis.
y = ux
dy = udx + xdu
(x² – y²)dx – 2xydy = 0
(x² – u²x²)dx – 2xux(udx + xdu) = 0
x²(1 – u²)dx – 2ux²(udx + xdu) = 0
x²(1 – u²)dx – 2u²x²dx – 2ux³du = 0
x²(1 – u² – 2u²)dx – 2ux³du = 0
x²(1 – 3u²)dx = 2ux³du
|
dx | = |
|
| ∫ |
|
= | ∫ |
|
Passo 3: Efetue todas as simplificações possíveis. Você deverá obter uma equação de variáveis separáveis em u e x.
A integral abaixo pode ser resolvida pelo método de substituição simples, onde k = (1 – 3u²) → dk = -6u du.
| ∫ |
|
ln|x| + 1⁄ 3 ln|1 – 3u²| = ln C
ln|x| + 1⁄ 3 ln|1 – 3u²| = C1
Aplicando as propriedades dos logaritmos, tem-se:
x(1 – 3u²)1 ⁄ 3 = C1
Elevando ambos os lados ao cubo, tem-se:
x³(1 – 3u²) = C
Passo 4: Fazer a substituição u = y ⁄ x.
x³(1 – 3u²) = C
| x³( | 1 – 3 |
|
) | = | C |
x³ – 3xy² = C
Portanto, x³ – 3xy² = C é solução geral da equação (x² – y²)dx – 2xydy = 0.
Equações exatas
Dada uma função F(x,y). Fazendo F(x,y) = C, onde C é uma constante qualquer, ou seja, C ∈ ℝ. Note que, F(x,y) está na forma implícita. Derivando F(x,y) = C, tem-se:
|
+ |
|
|
= | 0 |
Em seguida fazemos:
|
= | M(x,y) |
|
= | N(x,y) |
Assim teremos:
| M(x,y) | + | N(x,y) |
|
= | 0 |
Multiplicando ambos os lados por dx, tem-se:
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
A equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 será exata se:
|
= |
|
Caso isso ocorra existe uma função u(x,y) onde:
 |
|
Para resolver o sistema, escolhemos uma das equações e integramos. O resultado deve ser incluído na segunda equação. Fazendo essa inclusão encontraremos a função u(x,y). Finalmente, a solução geral da equação é encontrada por u(x,y) = C.
Exemplo 1
Resolva a equação 2xydx + (x² – 1)dy = 0.
2xydx + (x² – 1)dy = 0
M(x,y) = 2xy dx
N(x,y) = (x² – 1)dy
|
= |
|
|
= | 2x |
|
= | 2x |
| Portanto, |
|
= |
|
. |
Logo, existe u(x,y), onde:
|
|
| u(x,y) | = | ∫ | 2xy dx |
u(x,y) = x²y + g(y)
Agora incluimos este resultado na segunda equação do sistema.
|
= | N |
|
x²y + g(y) | = | x² – 1 |
x² + g’(y) = x² – 1
g’(y) = -1
Para saber quem é g(y) integramos g’(y).
| ∫ | -1 dy | = | -y + C |
Portanto, g(y) = -y + C.
Retomando u(x,y) = x²y + g(y), tem-se:
u(x,y) = x²y – y + C
Funções vetoriais – definição
Note pelo gráfico que o vetor r→ = xi→ + yj→ + zk→. Da mesma forma, podemos associar o vetor r→ a f→ e
– xi→ = f1(t) i→
– yj→ = f2(t) j→
– zk→ = f3(t) k→
Portanto, podemos escrever f→ como:
f→(t) = f1(t) i→ + f2(t) j→ + f3(t) k→, sendo i→, j→ e k→ vetores unitários.
Álgebra linear
O que você vai estudar:
- Espaços vetoriais
- Transformações lineares
- Ortogonalidade e projeções
- Autovalores e autovetores
- Produto interno
- Diagonalização e formas quadráticas
- Teorema espectral
- Métodos numéricos
Espaços vetoriais
Para iniciar nosso estudo de Álgebra linear é importante ter como pré-requisito os conhecimentos de matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Um espaço vetorial é um conjunto V de vetores sujeitos a duas regras específicas:
• Adição: para quaisquer u e v pertencentes a V, a soma u + v também é um vetor pertencente a V.
• Multiplicação por escalar: para qualquer vetor u pertencente a V e qualquer número real α, o produto αu é um vetor pertencente a V.
Além disso, para um conjunto ser considerado um espaço vetorial é necessário que ele cumpra com oito axiomas, sendo quatro referentes a operação de adição e quatro referentes a operação de multiplicação por escalar.
Propriedades da adição
1. Propriedade pertencimento: se u e v são elementos de V, então u + v é elemento de V.
2. Propriedade comutativa: u + v = v + u
3. Propriedade associativa: u + (v + w) = (u + v) + w
4. Propriedade existência do elemento neutro: u + 0 = 0 + u = u
5. Propriedade existência do elemento oposto: -u + u = u + (-u) = 0
Propriedades da multiplicação por escalar
6. Propriedade pertencimento: Seja α um escalar qualquer e u um elemento de V, então αu é um elemento de V.
7. Propriedade distributiva: α(u + v) = αu + αv
8. Propriedade distributiva 2: (α + β)u = αu + βu
9. Propriedade associativa: α(βu) = (αβ)u
10. Propriedade existência do elemento neutro: 1 * u = u
Os espaços ℝ², ℝ³ e ℝn são espaços vetoriais, ou seja, cumprem com todos os axiomas acima.
Exemplo 1
Seja V o conjunto de números reais positivos e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:
u + v = uv [A adição vetorial é a multiplicação numérica]
αu = uα [A multiplicação vetorial é a exponenciação numérica]
Verifique se V é um espaço vetorial.
Para verificar se um conjunto é um espaço vetorial é fundamental que o conjunto cumpra com todos os oito axiomas mostrados acima.
Axiomas da adição
1. Propriedade pertencimento: se u e v são elementos de V, então u + v é elemento de V.
se u ∈ V e v ∈ V, então u + v = uv ∈ V
V é o conjunto dos números reais positivos.
u ∈ ℝ e v ∈ ℝ, logo u + v = uv ∈ ℝ.
2. Propriedade comutativa: u + v = v + u
u + v = v + u → 2 + 3 = 3 + 2
uv = vu → 2 • 3 = 3 • 2
3. Propriedade associativa: u + (v + w) = (u + v) + w
u + (v + w) = (u + v) + w
u + vw = uv + w → 2 + 3 • 4 = 2 • 3 + 4
uvw = uvw → 2 • 3 • 4 = 2 • 3 • 4
4. Propriedade existência do elemento neutro: u + 0 = 0 + u = u
u + 0 = 0 + u = u
u • 0 = 0 • u = u
u + 1 = u • 1 = u → O elemento neutro aqui é o 1, ou seja, 0 = 1.
5. Propriedade existência do elemento oposto: -u + u = u + (-u) = 0
-u + u = u + (-u) = 0 → 0 = 1
-u + u = u + (-u) = 1
| u | + |
|
= | u |
|
= | 1 |
Axiomas da multiplicação por escalar
6. Propriedade pertencimento: Seja α um escalar qualquer e u um elemento de V, então αu é um elemento de V.
αu = uα
u ∈ V e α ∈ V, logo uα ∈ V
7. Propriedade distributiva: α(u + v) = αu + αv
α(u + v) = αu + αv
αuv = uα + vα
(uv)α = uα • vα
8. Propriedade distributiva 2: (α + β)u = αu + βu
(α + β)u = αu + βu
u(α + β) = uα + uβ
u(α + β) = u(α + β)
9. Propriedade associativa: α(βu) = (αβ)u
α(βu) = (αβ)u
α(uβ) = uαβ
(uβ)α = uαβ
10. Propriedade existência do elemento neutro: 1 * u = u
1 • u = u
u1 = u
Todos os axiomas foram satisfeitos, portanto V é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar.
Exemplo 2
Seja W o conjunto de todos os pares de números reais da forma (x,y) em que x ≥ 0, com as operações padrão de &Rof;². Verifique se W é um espaço vetorial.
Dependendo de como o conjunto se apresenta, não precisamos provar todas as propriedades. Basta mostrar um contra exemplo.
W é o conjunto de todos os pares de números reais da forma (x,y) em que x ≥ 0, ou seja, o primeiro elemento do par é sempre positivo. Isso vai contra uma das propriedades dos espaços vetoriais.
u = (x,y) ∈ W e α ∈ &Rof;, portanto αu ∈ W. Porém se α for negativo teremos -α(x,y) = (-αx, -αy). Visto que, o primeiro elemento do par deve ser sempre positivo, encontramos aqui um contra exemplo, portanto o conjunto W não é um espaço vetorial.
Exemplo 3
Seja V o conjunto de todas as matrizes 2×2 da forma
|
com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar. Verifique se V é um espaço vetorial.
Exemplo 4
Verifique se W, o conjunto de todos os pares de números reais da forma (1,x) com as operações
(1,y) + (1,y’) = (1,y + y’) e α(1,y) = (1,αy)
é um espaço vetorial.
Subespaços vetoriais
Na figura acima V é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar. W1 e W2 são subconjuntos de V. Mas é fácil perceber que W1 é subespaço vetorial de V e W2 não é. W1 é subespaço vetorial de V, porque sendo u e v ∈ W1, u + v ∈ W1. Da mesma forma, sendo α ∈ ℝ e v ∈ W1, αv ∈ W1. Desta forma, W1 é fechado na adição e multiplicação por escalar.
W2 não é subespaço vetorial de V pelo simples fato de a soma e a multiplicação por escalar produzir vetores fora de W2.
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
a) Dados quaisquer u e v ∈ W, u + v ∈ W.
b) Dado qualquer α ∈ ℝ e qualquer u ∈ W, αu ∈ W.
Visto ser W um subconjunto de V, não se faz necessário provar todos os 10 axiomas para espaço vetorial, já que alguns são herdados de V. É necessário provar apenas os axiomas 1 e 6.
Axioma 1: Dados quaisquer u e v ∈ V, u + v ∈ V.
Axioma 6: Dado qualquer α ∈ ℝ e qualquer u ∈ V, αu ∈ V.
Combinação linear
Combinação linear é o termo usado para descrever quando um vetor é resultado da combinação de outros n vetores.
Exemplo:
8 = 1(2) + 2(3)
O número 8 pode ser escrito como combinação linear de (2) e (3), onde 1 e 2 são escalares.
20 = 3(2) + 2(7)
O número 20 pode ser escrito como combinação linear de (2) e (7), onde 3 e 2 são escalares.
Aplicando isso a vetores tem-se a seguinte definição.
Dizemos que w num espaço vetorial V é uma combinação linear dos vetores v1, v2, …, vn se w puder se escrito na forma:
w = a1v1 + a2v2 + … + anvn
em que, a1, a2, …, an são escalares.
Exemplo 1
Verifique se o vetor (7,10) é combinação linear dos vetores (1,4) e (5,2).
Para que o vetor (7,10) seja combinação linear dos vetores (1,4) e (5,2) é necessário que (7,10) = a(1,4) + b(5,2). Precisamos encontrar valores para os escalares a e b. Quando não conseguimos encontrar valores para eles, a combinação linear não é possível.
(7,10) = a(1,4) + b(5,2)
(7,10) = (a,4a) + (5b,2b)
(7,10) = (a + 5b,4a + 2b)
Chegamos no sistema abaixo:
|
|
Multiplicamos a primeira equação do sistema por (-4).
|
|
Em seguida somamos a duas equações.
-4a + 4a + (-20b) + 2b = -28 + 10
-18b = -18
b = 1
Encontramos o valor da variável b. Agora substituímos o valor de b em uma das equações dos sistema e encontraremos o valor da variável a.
a + 5b = 7
a + 5(1) = 7
a = 7 – 5
a = 2
Portanto, o vetor (7,10) = 2(1,4) + 1(5,2).
Exemplo 2
Considere os polinômios p(x) = 2x² + 3x + 5, q(x) = x² + 1, r(x) = 2x e s(x) = 5x² – 4x + 11. Mostre que s(x) é combinação linear de p(x), q(x) e r(x).
Para que s(x) seja combinação linear de p(x), q(x) e r(x) é possível que s(x) seja escrito como:
s(x) = ap(x) + bq(x) + cr(x)
5x² – 4x + 11 = a(2x² + 3x + 5) + b(x² + 1) + c(2x)
5x² – 4x + 11 = (2ax² + 3ax + 5a) + (bx² + b) + (2cx)
5x² – 4x + 11 = 2ax² + bx² + 3ax + 2cx + 5a + b
5x² – 4x + 11 = (2a + b)x² + (3a + 2c)x + 5a + b
|
|
Podemos resolver este sistema por escalonamento ou pela regra de Cramer.
Vamos resolver pela regra de Cramer.
Montamos a matriz dos coeficientes e calculamos o seu determinante.
| A = |
|
= 6 |
| Aa = |
|
= 12 |
| Ab = |
|
= 6 |
| Ac = |
|
= -30 |
De posse dos determinantes podemos encontrar os valores de a, b e c.
| a = |
|
= |
|
= 2 |
| b = |
|
= |
|
= 1 |
| c = |
|
= |
|
= -5 |
Portanto, a = 2, b = 1 e c = -5. s(x) = 2(2x² + 3x + 5) + (x² + 1) – 5(2x), ou seja, s(x) = 2p(x) + q(x) – 5r(x).
Dependência e independência linear
Diz-se que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores no conjunto pode ser representado como uma combinação linear dos outros. Matematicamente, seja V um espaço vetorial e {v1,v2,v3, …, vn} um conjunto de vetores em V. Esse conjunto é linearmente dependente se existirem escalares α1, α2, …, αn, não todos nulos,
tais que a seguinte equação é satisfeita:
Aqui, 0 representa o vetor nulo.
Por outro lado, um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que iguala o vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são nulos. Matematicamente, seja V um espaço vetorial e {v1,v2,v3, …, vn} um conjunto de vetores em V. Esse conjunto é linearmente independente se a seguinte implicação for verdadeira:
α1 = α2 = … = αn = 0
Isso significa que a única maneira de obter a combinação linear nula é atribuindo zero a todos os coeficientes. Em outras palavras, nenhum vetor no conjunto pode ser expresso como uma combinação linear dos outros.
Um conjunto linearmente independente NÃO possui o vetor nulo dentro dele, já que o vetor nulo é combinação linear de quaisquer outros vetores.
Subespaço gerado
Seja V um espaço vetorial e {v1,v2, …, vn} vetores em V. É possível gerar um subconjunto W se todo vetor de W for uma combinação linear α1v1 + α2v2 + … + αnvn dos vetores de V. Dizemos que W é gerado por [v1,v2, …, vn].
Veja como exemplo o espaço vetorial R³ e os vetores {(1,0,0),(0,1,0)}. Fazendo todas as combinações lineares desses vetores (x,y,0) = x(1,0,0) + y(0,1,0), chegamos a conclusão de que o subespaço gerado pelos vetores {(1,0,0),(0,1,0)} é o plano xy ou R², logo R² = [(1,0,0),(0,1,0)], ou seja, o subespaço vetorial R² é gerado por {(1,0,0),(0,1,0)}.
Base de um espaço vetorial
Em Álgebra Linear, o conceito de base é fundamental para compreender a estrutura de espaços vetoriais. Uma base é um conjunto de vetores que, de certa forma, “gera” todos os outros vetores no espaço. Seja V um espaço vetorial e B um subconjunto de V. O conjunto B é considerado uma base se três condições forem satisfeitas:
1 – O vetores de B são linearmente independentes.
2 – Os vetores de B geram o espaço vetorial V, ou seja, qualquer vetor de V pode ser expresso como combinação linear de B.
3 – Possuir um conjunto mínimo gerador.
Portanto, seja V um espaço vetorial e B um subconjunto de V linearmente independente e que gera V. B é considerado Base de V se qualquer elemento v de V puder se escrito como combinação linear dos elementos de B, ou seja, B = {v1, v2, v3, …, vn} e v ∈ V, logo v = α1v1 + α2v2 + α3v3 + … + αnvn sendo os escalares α1, α2, α3, …, αn as coordenadas de v na base B.
Exemplos de bases:
{(1,0),(0,1)} base de R2. Essa base é de dimensão 2, pois possui 2 vetores.
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} base de R3. Essa base é de dimensão 3, pois possui 3 vetores.
{1, x, x², x³, …, xn} base dos polinômios de grau n
|
, |
|
, |
|
, |
|
Base das matrizes M2×2.