Livro de Matemática

A teoria dos números é um ramo da matemática que estuda as propriedades e relações dos números inteiros. Ela é considerada uma das áreas mais antigas e fundamentais da matemática. A teoria dos números abrange uma vasta gama de tópicos e problemas, desde questões simples e intuitivas até problemas extremamente complexos e abstratos. Alguns dos quais incluem:

• Números primos: Estudo dos números que são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. A teoria dos números examina a distribuição dos números primos, a infinitude deles, e diversos teoremas e conjecturas relacionados, como a Conjectura de Goldbach e a Hipótese de Riemann.
• Divisibilidade: Investigação das propriedades de divisibilidade dos inteiros, incluindo algoritmos para determinar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC).
• Teoria Aritmética: Análise das propriedades dos números em termos de suas representações e operações aritméticas básicas. Isso inclui a teoria das congruências, que estuda como os números se comportam sob a operação de divisão por um inteiro fixo.
• Equações Diofantinas: Solução de equações polinomiais em números inteiros. As equações diofantinas são assim chamadas em homenagem a Diofanto de Alexandria e podem ser muito desafiadoras, com algumas delas permanecendo sem solução por séculos.
• Funções Aritméticas: Estudo de funções que têm números inteiros como domínio e que possuem relevância para propriedades numéricas, como a função de Euler ϕ(n), que conta os inteiros até n que são co-primos com n.
• Teoria Algébrica dos Números: Extensão da teoria dos números para os números algébricos, que são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Esta área inclui o estudo dos corpos numéricos e dos anéis de inteiros algébricos.
• Teoria Analítica dos Números: Utilização de técnicas da análise matemática para resolver problemas sobre os números inteiros. Um exemplo famoso é a prova do teorema dos números primos, que descreve a distribuição assintótica dos números primos.
• Teoria Transcendental dos Números: Estudo dos números transcendentes, que não são raízes de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros. Exemplos clássicos incluem e e π.

A teoria dos números é uma área fascinante e rica da matemática, conhecida tanto por seus problemas aparentemente simples quanto por suas profundas conexões com outras áreas da matemática, como a álgebra, a análise e a geometria. Ela possui um histórico de grandes conjecturas e teoremas, muitos dos quais continuam a inspirar pesquisas matemáticas até os dias de hoje.

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A teoria dos números, também conhecida como aritmética superior, é uma área fundamental da matemática que estuda as propriedades e relações dos números inteiros. Sua importância se estende por diversas áreas, tanto dentro da matemática quanto em outras disciplinas. Aqui estão algumas razões que destacam sua relevância:

1. Base para outras áreas da matemática: A teoria dos números fornece fundamentos essenciais para outras áreas da matemática, como álgebra, geometria e análise. Conceitos e técnicas desenvolvidos na teoria dos números frequentemente encontram aplicações em outras disciplinas matemáticas.
2. Criptografia e segurança da informação: A teoria dos números é crucial para a criptografia, que é a base da segurança digital moderna. Métodos criptográficos, como RSA e ECC (Elliptic Curve Cryptography), dependem de problemas difíceis na teoria dos números, como a fatoração de grandes números primos e o problema do logaritmo discreto.
3. Teoria dos códigos: A teoria dos números é aplicada no desenvolvimento de códigos corretores de erros, que são vitais para a transmissão confiável de dados em comunicações digitais e armazenamento de dados.
4. Computação e algoritmos: Muitos algoritmos fundamentais na ciência da computação são baseados na teoria dos números. Exemplos incluem algoritmos para encontrar o maior divisor comum (como o algoritmo de Euclides), testes de primalidade e algoritmos para fatoração de números.
5. Matemática pura e problemas abertos: A teoria dos números está repleta de problemas desafiadores que têm fascinado matemáticos por séculos, como a Conjectura de Goldbach, a Hipótese de Riemann e o Último Teorema de Fermat (que foi provado por Andrew Wiles em 1994). A resolução desses problemas não só avança nosso conhecimento na teoria dos números, mas também pode ter implicações inesperadas em outras áreas.
6. Aplicações em física e outras ciências: A teoria dos números tem aplicações em física teórica, particularmente em áreas como a mecânica quântica e a teoria das cordas. Propriedades dos números primos e funções aritméticas aparecem em várias fórmulas e teorias físicas.
7. História e desenvolvimento da matemática: A teoria dos números tem uma longa história que remonta a matemáticos antigos como Euclides, Diofanto e Fermat. Estudar essa história oferece insights sobre o desenvolvimento do pensamento matemático e os métodos de resolução de problemas.
8. Interdisciplinaridade: A teoria dos números interage com diversas outras áreas do conhecimento, como teoria dos grafos, combinatória, teoria da complexidade, entre outras. Essas interações geram novas perspectivas e técnicas que enriquecem tanto a teoria dos números quanto os campos associados.

Em resumo, a teoria dos números é uma área central da matemática com profundas implicações teóricas e práticas. Ela não só alimenta a curiosidade intelectual dos matemáticos, mas também impulsiona avanços tecnológicos e científicos em diversas áreas.

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O foco do estudo da teoria dos números é o conjunto dos números inteiros. Este conjunto é dotado de duas operações binárias, denominadas adição e multiplicação e representadas pelos símbolos + e . respectivamente. Estas operações satisfazem os seguintes axiomas:

• Fechamento: Para quaisquer a e b inteiros, a + b e a . b também são inteiros.
• Associatividade: Para todos a, b, c ∈ Z, (a + b) + c = a + (b + c) e (a . b) . c = a . (b . c).
• Elemento neutro: Existe um elemento 0 ∈ Z tal que 0 + a = a para todo a ∈ Z e um elemento 1 ∈ Z tal que 1 . a = a para todo a ∈ Z.
• Elemento oposto ou simetrizável: Para cada a ∈ Z, existe um elemento – a ∈ Z tal que a + (-a) = 0.
• Distributividade: Para todo a, b, c ∈ Z, temos a .(b + c) = ab + ac.
• Comutatividade: Para todo a, b ∈ Z, a + b = b + a e a . b = b . a.

Axiomas de ordem

Definição 1

Sejam a e b ∈ Z, dizemos que a ≤ b se existir um r ∈ N*, tal que b = a + r.

Exemplos: 2 ≤ 5, pois 5 – 2 = 3, ou seja, 5 = 2 + 3. 4 ≤ 4, pois 4 – 4 = 0.

Definição 2 – Tricotomia

Para quaisquer dois inteiros a e b, uma das condições é satisfeita:

a < b ou b < a ou b = a

Esse axioma garante que sempre podemos comparar dois números inteiros de uma maneira clara e distinta.

Definição 3

• Reflexividade: Para cada a ∈ Z, a ≤ a.
• Antissimetria: Para todo a, b ∈ Z, se a ≤ b e b ≤ a, então a = b.
• Transitividade: Para todo a, b, c ∈ Z, se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c.

Definição 4

Sejam a, b, c , d ∈ Z, então:

• Se a ≤ b, então a ± c ≤ b ± c.
• Se a < b e c > 0, então ac < bc.
• Se a < b e c < 0, então ac > bc.
• Se 0 < a < b e 0 < c < d, então ac < bd.
• Se a ≠ 0, então a² > 0.
• Se a, b > 0 e a² < b², então a < b.

Definição 5 – Valor absoluto

Dado a ∈ Z, definimos o valor absoluto de a sendo:

|a| = a se a > 0
|a| = -a se a ≤ 0

Exemplo: |5| = 5, |-3| = -(-3) = 3

O resultado do módulo é sempre positivo.

• |a| ≥ 0 e |a| = 0 se, e somente se, a = 0.
• -|a| ≤ a ≤ |a|
• |-a| = |a|
• |ab| = |a|.|b|
• |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdade triangular)
• ||a|-|b|| < |a – b|

Definição 6

Dado A ⊂ Z um subconjunto dos inteiros, dizemos que A é limitado inferiormente se existir um k ∈ Z tal que k ≤ a ∀ a ∈ A. Dessa forma, o conjunto A é um conjunto que possui limite inferior, mas não há limite superior. Exemplos:

A = {3, 6, 9, 12, 15, …} ou [3,∞)

Da mesma forma, um conjunto pode ser limitado superiormente. Também podemos afirmar que todo conjunto não vazio A ⊂ Z limitado inferiormente possui elemento mínimo. Seguindo o mesmo raciocínio, todo conjunto não vazio A ⊂ Z limitado superiormente possui elemento máximo.

Definição 7 – Propriedade Arquimediana

Dados a, b ∈ N, existe n ∈ N tal que n . a > b.
A propriedade arquimediana, no contexto dos números inteiros, é uma característica fundamental que se refere ao comportamento dos números inteiros na linha numérica. Em termos simples, ela afirma que, dado qualquer número inteiro positivo, por maior que ele seja, podemos sempre encontrar outro número inteiro positivo que, multiplicado por um número inteiro suficientemente grande, será maior que qualquer número inteiro dado.

Exemplo:
Suponha que a = 2 e b = 100:

• De acordo com a propriedade arquimediana, existe um número inteiro n tal que n . 2 > 100.
• Se escolhermos n = 51, então 51 * 2 = 102, que é maior do que 100.

A intuição por trás dessa propriedade é que não importa o quão grande seja um número $b$, multiplicando um número inteiro positivo $a$ por números inteiros suficientemente grandes, podemos sempre alcançar ou ultrapassar $b$. Isso reflete a ideia de que os números inteiros são ilimitados na direção positiva e negativa.

A propriedade arquimediana é crucial em várias áreas da matemática, pois assegura que não existem “lacunas” nos números inteiros quando multiplicados por números suficientemente grandes. Essa propriedade é também uma base para definir e entender os conceitos de limites e convergência em contextos mais avançados da análise matemática.

Definição 8 – Paridade

Dizemos que um número inteiro a é par se existir um elemento k também inteiro tal que a = 2k. De igual forma, um inteiro a é dito ímpar se existir um inteiro k  tal que a = 2k + 1. Portanto, dado um a ∈ Z, temos que a é par ou a é ímpar, não havendo outra possibilidade. O conjunto dos números inteiros é a união disjunta entre o conjunto dos inteiros pares e o conjunto dos inteiros ímpares.

A indução finita é uma técnica de demonstração matemática usada para provar que uma certa propriedade é verdadeira para todos os números naturais. Podemos usar como analogia uma fileira infinita de peças de dominó. Se dizemos que a primeira peça cai, com a garantia de que a queda de uma peça implica a queda da peça seguinte, teremos a certeza de que todas as peças cairão. Vejamos alguns exemplos:

Primeira Forma

Exemplo 1

Seja a ∈ N, e P uma propriedade, temos que:

1. P(a) é verdadeira.
2. Para k ≥ a, se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira.

Nessas condições, P(n) é verdadeira para todo n ≥ a.

Exemplo 2

Seja a ∈ N, consideramos S o conjunto com as seguintes propriedades:

1. a ∈ S.
2. Para k ≥ a, se k ∈ S, então k + 1 ∈ S.

Nessas circunstâncias, S é o conjunto de todos os naturais maiores ou iguais a a.

Exemplos Resolvidos

1. Dado n ∈ N, temos:
   

   0 + 1 + 2 + … + n

   =

   n (n + 1) 2

   Primeiro devemos provar que a propriedade é verdadeira para o primeiro
   elemento, ou seja, o zero.

   0

   =

   0 (0 + 1) 2

   =

   0

   Agora, assumimos que, para um k ∈ N a propriedade também é válida.
   Dessa forma temos:

   0 + 1 + 2 + … + k

   =

   k (k + 1) 2

   Vamos agora provar a propriedade para um elemento k + 1. Já sabemos provar
   até um certo k.

   0 + 1 + 2 + … + k + k + 1

   =

   k (k + 1) 2

   +

   k + 1

   0 + 1 + 2 + … + k + k + 1

   =

   k (k + 1) 2

   +

   2 (k + 1) 2

   0 + 1 + 2 + … + k + k + 1

   =

   (k + 1)(k + 2) 2

   0 + 1 + 2 + … + k + k + 1

   =

   (k + 1)((k + 1) + 1) 2

Indução Forte

Indução forte é uma variação do princípio da indução matemática, muito usada para provar afirmações sobre números naturais. A diferença entre indução fraca e indução forte está na hipótese de indução.

Diferença entre Indução Fraca e Forte:

Indução fraca: Você supõe que a propriedade é verdadeira para um número n, e prova que ela também é verdadeira para n + 1.

Indução forte: Você supõe que a propriedade é verdadeira para todos os números até n (ou seja, para 1,2,…,n), e prova que ela também é verdadeira para n + 1.

Estrutura da Indução Forte

Para provar que uma afirmação P(n) é verdadeira para todo n ≥ n₀, você faz:

• Motra que P(n₀) é verdadeiro.
• Supõe que P(n₀), P(n₀ + 1), …, P(k) são verdadeiros (hipótese de indução), e prove que P(k + 1) também é verdadeiro.

Dados dois números n, k ∈ ℕ, denotamos

o número de maneiras diferentes de escolhermos k elementos a partir de um conjunto de n elementos, sem considerar a ordem.
Também pode representar o número de subconjuntos de k elementos de um conjunto de n elementos.

O número encontrado indica que existem 10 maneiras diferentes de escolher 2 elementos de um grupo de 5 elementos ou que existem 10 subconjuntos de 2 elementos a partir de um conjunto de 5 elementos.

Para mais informações veja o capítulo sobre Binômio de Newton.

O princípio da gaiola dos pombos, também conhecido como princípio das gavetas de Dirichlet, é um conceito matemático simples, mas muito poderoso. Ele diz o seguinte:

Se você tem mais pombos do que gaiolas e coloca cada pombo em uma gaiola, então pelo menos uma gaiola terá mais de um pombo.

Em termos formais, se você tentar colocar n + 1 objetos em n recipientes, pelo menos um recipiente conterá dois ou mais objetos.

1. Sobre os axiomas algébricos, indique se as afirmações a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F):

   ( ) Os inteiros 0 e 1 são os únicos elementos neutros aditivo e multiplicativo, respectivamente.
   ( ) Para todos a, b e c ∈ ℤ tais que a + b = a + c temos que b = c.
   ( ) Para todo elemento a ∈ ℤ, existe um elemento a’ ∈ ℤ tal que a . a’ = 1.
   ( ) Apenas por meio dos axiomas algébricos é possível provar que (-1) . (-1) = 1.

   Agora, assinale a alternativa que corresponde a sequência obtida:

   a. V, V, F, V ★
   b. V, F, F, V
   c. V, V, F, F
   d. F, V, V, V
   e. V, F, V, F

2. Analise as afirmações a seguir e indique se são verdadeiras (V) ou falsas (F):
   ( ) Se a² = a, então a = 0 ou a = 1.
   ( ) Se a³ = a, então a = 0 ou a = 1.
   ( ) A equação a + x = b tem uma única solução em ℕ.
   ( ) A equação a + x = b admite mais de uma solução em ℤ.

   Agora, assinale a alternativa que corresponde à sequência obtida:

   a. V, V, F, V
   b. V, F, F, V
   c. V, V, F, F
   d. F, V, V, V
   e. V, F, V, F ★

   ---

   Primeira sentença
   a² = a → a² – a = 0 → a(a – 1) = 0 → a = 0 ou a – 1 = 0 = 1 → Verdadeira.

   Segunda sentença
   a³ = a → a³ – a = 0 → a(a² – 1) = 0 → a(a – 1)(a + 1) = 0

   soluções:

   a = 0, a = 1, a = -1

   Falsa, pois existe a solução a = -1.

   Terceira sentença
   a + x = b → x = b – a

   para que a equação possua apenas uma solução em ℕ é necessário que b ≥ a. Portanto, em ℕ só existe uma única solução para a equação dada.

   Verdadeira

   Quarta sentença

   a + x = b realmente só possui uma única solução em Z, pois ao solucionar a equação sempre teremos um único valor para x. Diferente de uma equação de 2º grau onde x pode assumir 2 valores.

   Falsa.

3. Considere a, b, c ∈ ℤ e indique se as afirmações a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F):

   ( ) a² – ab + b² ≥ 0.
   ( ) Se a < b, então a³ < b³.
   ( ) Se a < b, então a² < b².
   ( ) A equação x² + 1 = 0 tem solução em ℤ.
   ( ) Se a . b < a . c e a > 0, então b < c.

   Agora, assinale a alternativa que corresponde à sequência obtida:

   a. V, V, F, V, V
   b. V, F, F, F, V
   c. V, V, F, F, V ★
   d. F, V, F, V, F
   e. V, V, V, F, F

   ---

   Se a < b → a² < b² → (-2) < 2 → (-2)² ≤ 2² → 4 ≤ 4 → Sentença falsa.

4. Demonstre que, se um subconjunto de Z tem mínimo (ou máximo), então o mínimo (ou máximo) é único.

   Seja A um subconjunto de ℤ e que A possua mínimo. Ou seja, existe um elemento m ∈ A tal que ∀ a ∈ A, m ≤ a.

   Vamos supor por absurdo, que existam dois mínimos distintos, m₁ e m₂, ambos em A, tal que ∀ a ∈ A, m₁ ≤ a e m₂ ≤ a.

   Como m₁, m₂ ∈ A, podemos aplicar as desigualdades a eles mesmos.

   • Como m₂ ∈ A, pela definição de mínimo, m₂ ≤ m₁
   • Como m₁ ∈ A, pela definição de mínimo, m₁ ≤ m₂

   Logo:

   m₁ ≤ m₂ e m₂ ≤ m₁ ⇒ m₁ = m₂

   Portanto, m₁ e m₂ não são distintos. Isso contradiz a suposição de que existem dois mínimos distintos. Assim o mínimo é único.

5. Dado um conjunto de números A, definimos a cardinalidade de A por:

   |A| =

   Número de elementos de A, caso tal seja finito ∞, caso contrário

   Nesse caso, é possível afirmar que dois conjuntos, A e B, têm mesma cardinalidade se existe uma função φ: A → B bijetiva.

   Prove que o conjunto dos números pares é infinito, com cardinalidade igual ao conjunto dos inteiros. De igual forma, prove que o conjunto dos números ímpares é infinito, com a mesma cardinalidade do conjunto dos inteiros. Note que, assim, teremos dois conjuntos disjuntos, por exemplo, P e I, tais que |P| = |ℤ| = |I| e P ⋃ I = ℤ.
   

   ---

   Antes de iniciarmos vamos ver como funciona essa ideia aplicada aos conjuntos finitos.

   Seja A = {1,3,5,7} com cardinalidade 4.
   Seja B = {2,4,6,8} com cardinalidade 4.

   Sendo C = A ⋃ B → C = {1,2,3,4,5,6,7,8} e terá cardinalidade 8, ou seja, |A| + |B|.

   Regra geral para conjuntos finitos

   Se A e B são finitos e disjuntos, então:

   |A ⋃ B| = |A| + |B|

   Comparando com o caso infinito

   Nos conjunto infinitos enumeráveis, essa regra não vale da mesma forma. Quando temos dois conjuntos infinitos enumeráveis disjuntos (como pares e ímpares) a união ainda tem a mesma cardinalidade.
   Em teoria dos conjuntos, dois conjuntos infinitos têm a mesma cardinalidade se existe uma bijeção entre eles (ou seja, é possível parear seus elementos um a um, sem sobrar nenhum).

   Os números pares são infinitos e têm a mesma cardinalidade dos inteiros

   ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
   2ℤ = {…, -4, -2, 0, 2, 4, …}

   Mostrar que 2ℤ é infinito

   Sabemos que o conjunto dos números naturais ℕ é infinito. Portanto, vamos gerar infinitos inteiros pares por meio de uma fórmula ou função ƒ: ℕ → 2ℤ, tal que ƒ = 2n, ∀ n ∈ ℕ.

   f(n) = 2n
   f(1) = 2 . 1 = 2
   f(2) = 2 . 2 = 4
   f(3) = 2 . 3 = 6
   ⁝
   f(n+1) = 2(n+1)

   Como há infinitos números naturais, haverá infinitos números inteiros pares.

   Mostrar que |2ℤ| = |ℤ|

   Vamos definir uma função ƒ: ℤ → 2ℤ dada por f(n) = 2n. Note que para cada n ∈ ℤ haverá um correspondente em 2ℤ. Visto que, ℤ é infinito, 2ℤ também é.
   Logo, possuem a mesma cardinalidade.

   O mesmo pode ser feito para os números inteiros ímpares, basta definir uma função g: ℤ → ℤ_ímpar, tal que g(n) = 2n + 1.

Dada a equação a . x = b, vamos verificar a existência de soluções no conjunto dos inteiros para a, b ∈ ℤ.

Definição 1

Dados a, b ∈ ℤ, diz-se que b divide a se existe c ∈ ℤ tal que a = b . c.

Ao dizermos que b divide a, é possível também dizermos que “a é divisível por b“, “b é divisor de a” e ainda, “a é múltiplo de b“.

• b divide a é representado por b | a
• b não divide a é representado por b ∤ a

Um caso interessante é quando a = 0. Note que, pela definição de divisibilidade, b | 0 para todo inteiro b, ja que 0 = bc. Além disso, 0 | 0, existindo infinitos valores para c ∈ ℤ tal que 0 = 0 . c. Por isso, é natural dizer que zero sobre zero é uma indeterminação.

Propriedades

Considerando a, b, c, d ∈ ℤ quaisquer, são verdadeiras as seguintes afirmações:

1. 1|a
2. a|a
3. Se a|b e b|c, então a|c
4. Se a|b e c|d, então ac|bd
5. Se a|b, então b/a | b
6. Se a|b, então a|mb para todo m ∈ ℤ
7. Se a|b e a|c, então a|(mb + nc) para todos m, n ∈ ℤ
8. Se a|b e a|(b + c), então a|c
9. Os únicos divisores de 1 são 1 e -1
10. Se a|b e b|a, então a = ± b
11. Se a|b, então a|-b, -a|b, -a|-b e |a| | |b|

Analisaremos agora o caso onde a∤b, obtendo assim um resto.

Seja a, b ∈ ℤ, com a > 0, ao efetuarmos a divisão de b por a, irão existir e serão únicos os inteiros q e r, com 0 ≤ r < a e b = qa + r. Nesse contexto, os inteiros q e r são denominados quociente e resto, respectivamente.
Uma aplicação da divisibilidade é a representação de números em determinada base. Quando representamos um número em outra base (por exemplo, da base 10 para a base 2 ou base 16), usamos divisões sucessivas para descobrir quais são os dígitos na nova base. Esse processo depende diretamente da ideia de divisibilidade.

MMC e MDC Clique aqui

Diz-se que I ⊂ ℤ é um ideal de ℤ se:

• Para todo a, b ∈ I, temos a + b ∈ I.
• Para todo a ∈ I e m ∈ ℤ, temos que m . a ∈ I.

Todo ideal de ℤ é da forma nℤ, para algum inteiro n ≥ 0.
Ou seja, os únicos ideais de ℤ são os conjuntos de múltiplos de algum número.

Exemplos de ideais de ℤ

• 0ℤ = {0} Ideal trivial
• 1ℤ = ℤ Ideal total
• 2ℤ = {0,±;2,±4,±6 …} conjunto dos múltiplos de 2.
• 3ℤ = {0,±3,±6,±9 …} conjunto dos múltiplos de 3.

Teorema de Bézout

O Teorema de Bézout é um clássico da Teoria dos Números e tem uma conexão direta com ideais em ℤ. Ele afirma que o máximo divisor comum de dois números pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Dados dois inteiros a e b, existem inteiros x e y tais que: mdc(a,b) = ax + by

Veja sobre Números primos e Teorema fundamental da aritmética antes de prosseguir.