Livro de Matemática

Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada de ordem n.

Só é possível calcular determinante de matriz quadrada?

Sim, o cálculo do determinante é uma propriedade específica de matrizes quadradas, ou seja, aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas. A definição do determinante só se aplica a essas matrizes.

Se você tem uma matriz retangular (não quadrada), não é possível calcular o determinante. No entanto, existem outras operações e propriedades que você pode aplicar a matrizes retangulares, como a transposição, multiplicação por escalares, adição de matrizes, etc.

Para uma matriz quadrada n×n, o determinante é uma função que associa a matriz a um número real. O cálculo do determinante pode ser feito de várias maneiras, sendo a expansão por cofatores e o método de eliminação de Gauss dois dos métodos mais comuns. O determinante de uma matriz é frequentemente usado em álgebra linear e em várias disciplinas matemáticas e científicas.

Dada a matriz A genérica de 2ª ordem, chama-se determinante de A, det A, o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Note que os produtos dos elementos da diagonal secundária recebem um sinal de (-).

Considere a matriz genérica de 3ª ordem abaixo:

Chama-se menor complementar D_ij relativo a um elemento a_ij da matriz dada o determinante associado à matriz quadrada de ordem 2, que se obtém eliminando-se a linha e a coluna que contém o elemento a_ij considerado.
Desta forma, temos:

Eliminamos da matriz A a linha 1 e a coluna 1.

Eliminamos da matriz A a linha 2 e a coluna 1.

Eliminamos da matriz A a linha 3 e a coluna 2.

O Cofator de um elemento a_ij qualquer de uma matriz é o número real obtido ao se multiplicar (-1)^i+j * D_ij.

C_ij = (-1)^i+j * D_ij, esta é a fórmula que retorna o Cofator de um elemento a_ij. De estudos anteriores sabemos que D_ij retorna o menor complementar quando eliminamos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Desta forma, dada a matriz

O cofator C₁₁ será C₁₁ = (-1)¹⁺¹ * D₁₁.

Já o cofator C₂₃ será C₂₃ = (-1)²⁺³ * D₂₃.

Note que o termo (-1)^i+j ora será positivo, ora negativo.

A regra de Sarrus é utilizada em matrizes de ordem 3. Dada uma matriz A

O determinante de A pode ser calculado repetindo a primeira e segunda colunas à direita da matriz conforme o esquema abaixo:

Agora multiplicamos em diagonal os elementos selecionados.

Então o determinante da matriz A é det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + ( vamos para o passo abaixo).

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + …

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₁₃*a₂₁*a₃₂

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₁₃*a₂₁*a₃₂ – a₁₃*a₂₂*a₃₁

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₁₃*a₂₁*a₃₂ – a₁₃*a₂₂*a₃₁ – a₁₁*a₂₃*a₃₂

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₁₃*a₂₁*a₃₂ – a₁₃*a₂₂*a₃₁ – a₁₁*a₂₃*a₃₂ – a₁₂*a₂₁*a₃₃
Note que os elementos com fundo laranja possuem sinal positivo, enquanto que aqueles marcados com fundo azul recebem sinal negativo. Veja abaixo o esquema completo.

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₁₃*a₂₁*a₃₂ – a₁₃*a₂₂*a₃₁ – a₁₁*a₂₃*a₃₂ – a₁₂*a₂₁*a₃₃

Exemplo 1

Calcular o determinante da matriz M.

M =	1 -1 3 4 2 5 7 0 -2

Usando a regra de Sarrus, vem:

Então o determinante da matriz M é det M = 1 * 2 * (-2) + (-1) * 5 * 7 + 3 * 4 * 0 – 3 * 2 * 7 – 1 * 5 * 0 – (-1) * 4 * (-2).
det M = -4 + (-35) + 0 – 42 – 0 – 8 = -89

Exemplo 2

Resolva a equação

2 3 1 x 1 x 2 0 1

= 15

O processo será o mesmo do exemplo anterior. Aplicaremos a regra de Sarrus repetindo a primeira e segunda colunas.

A regra de Sarrus fornece o determinante da matriz de ordem 3. logo, det = 2 * 1 * 1 + 3 * x * 2 + 1 * x * 0 – 1 * 1 * 2 – 2 * x * 0 – 3 * x * 1. Porém o determinante já foi dado, e seu valor é 15. Então, 2 * 1 * 1 + 3 * x * 2 + 1 * x * 0 – 1 * 1 * 2 – 2 * x * 0 – 3 * x * 1 = 15.
2 + 6x + 0 – 2 – 0 – 3x = 15
3x = 15
x = 5 \ S = {5}

O teorema de Laplace retorna o determinante de uma matriz de ordem n. Desta forma podemos calcular através desta ferramenta o determinante de matrizes de ordem maior ou igual a 2. Para usarmos o teorema de Laplace escolhemos arbitrariamente, uma linha ou coluna da matriz de ordem n. Daí, somamos os produtos dos elementos dessa linha ou coluna pelos respectivos cofatores.
Vamos ver um exemplo genérico. Dada a matriz A de ordem 4.

O determinante de A pode ser calculado escolhendo-se uma linha ou coluna de A. Caso escolhamos a linha 3 o determinante de A será:
det A = a₃₁*C₃₁ + a₃₂*C₃₂ + a₃₃*C₃₃ + a₃₄*C₃₄.
Mas, se escolhermos a coluna 2 o determinante de A será:
det A = a₁₂*C₁₂ + a₂₂*C₂₂ + a₃₂*C₃₂ + a₄₂*C₄₂.

As propriedades descritas abaixo tem por objetivo facilitar os cálculos com determinantes. Vale lembrar que estas propriedades de aplicam a matrizes de qualquer ordem.

1ª Propriedade
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem nulos, o seu determinante será zero.

2ª Propriedade
Se 2 linhas ou 2 colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, seu determinante será nulo.

3ª Propriedade
Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada for combinação linear de outras linhas ou colunas, seu determinante será nulo.

A linha 3 é resultado da soma da linha 1 com a linha 2.

4ª Propriedade
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta A^t.

5ª Propriedade
Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz será o oposto do determinante da primeira matriz.

Trocando de posição a segunda e a terceira linhas obtemos a matriz P.

6ª Propriedade
Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna por um número real k, então o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante da primeira matriz.

Vamos multiplicar a segunda linha por 3. Assim obteremos a matriz R.

Logo, o determinante de R é 3 vezes o determinante de A, ou seja, det R = 3 * det A.
det R = 3 * (-6) = -18

7ª Propriedade
Se todos os elementos de uma matriz quadrada situados de um mesmo lado da diagonal principal forem nulos, então o determinante da matriz será igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

det M = 1 * 5 * 4 = 20