Livro de Matemática
Sumário
Equação linear
Uma equação linear é toda equação que segue a seguinte estrutura a1x1 + a2x2 + … + anxn = b.
Da equação dada podemos dizer que:
a1, a2, … , an são coeficientes.
x1, x2, … , xn são as incógnitas.
b é o termo independente.
Exemplo:
- 2x1 – 3x2 + x3 = 5
- 4x – 3y + z = 0
Nota:
- Todas as incógnitas apresentam somente expoente igual a 1. Desta forma, a equação 3x2 + 2x = – 3 não é linear.
- Equações do tipo a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, com b = 0, são ditas homogêneas.
- A solução de uma equação linear a n incógnitas é a sequência de números reais ou ênupla (a1,a2, …, an), que, colocados respectivamente, no lugar das variáveis x1, x2, … , xn tornam a igualdade a1x1 + a2x2 + … + anxn = b uma verdade.
- Duas equações são equivalentes quando têm as mesmas soluções em um mesmo conjunto universo.
Exemplo 1
Dada a equação linear x + 3y + 5z = 16, encontrar uma de suas soluções.
Atribuindo valores arbitrários para x e y, vamos encontrar o valor de z.
x = 2 e y = 3
x + 3y + 5z = 16
2 + 3(3) + 5z = 16
11 + 5z = 16
5z = 16 – 11
5z = 5
z = 1
Logo uma das soluções da equação é a tripla ordenada(2, 3, 1).
Exemplo 2
Determine m para que (-1, 1, -2) seja solução da equação mx + y – 2z = 6.
Se (-1, 1, -2) é solução da equação mx + y – 2z = 6, então substituimos os valores de x, y e z.
-m + 1 -2(-2) = 6
-m + 5 = 6
-m = 1
m = -1
Sistema linear
Você com certeza deve se lembrar dos sistemas abaixo, não é?
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Estes sistemas apresentam duas equações e duas variáveis, x e y. Um sistema linear é muito mais robusto, pois possui m equações e n variáveis.
Um sistema linear possui a seguinte estrutura.
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Matrizes associadas a um sistema
Não sei se você percebeu, mas na matemática tudo parece estar interligado. Observe o sistema linear acima. Ele pode ser representado por matrizes. Podemos fazer isso de duas maneiras. A primeira é montando a matriz incompleta do sistema.
| A = |
|
A segunda maneira é montar a matriz aumentada do sistema. Neste modelo acrescentamos a coluna dos termos independentes.
| A = |
|
Exemplo
Represente o sistema abaixo na forma de matrizes.
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Primeiro vamos construir a matriz incompleta do sistema. Nela usamos apenas o coeficientes.
| A = |
|
Agora construimos a matriz aumentada do sistema acrescentando a coluna dos termos independentes.
| B = |
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Representação matricial de um sistema linear
Dado um sistema linear genérico:
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A sua representação matricial é dada da seguinte maneira.
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* |
|
= |
|
A nova estrutura é composta pela matriz dos coeficientes multiplicada pela matriz coluna das variáveis tendo como resultado a matriz coluna dos termos independentes. Efetuando a operação chegamos ao sistema linear original.
Classificação de um sistema linear
Um sistema linear pode ser classificado de acordo com o seu número de soluções. Se um sistema linear possuir apenas uma solução ele é dito DETERMINADO. Ele também pode ser classificado como INDETERMINADO se possuir infinitas soluções. Caso o sistema não apresente solução alguma ele é dito IMPOSSÍVEL.
| SISTEMA LINEAR | |||||||
| POSSÍVEL OU COMPATÍVEL (QUANDO ADMITE SOLUÇÃO) | IMPOSSÍVEL OU INCOMPATÍVEL (QUANDO NÃO ADMITE SOLUÇÃO) | ||||||
| DETERMINADO (ADMITE UMA ÚNICA SOLUÇÃO) | INDETERMINADO (ADMITE INFINITAS SOLUÇÕES) | ||||||
| DETERMINADO (ADMITE UMA ÚNICA SOLUÇÃO) | ||||
| POSSÍVEL OU COMPATÍVEL (QUANDO ADMITE SOLUÇÃO) | ||||
| INDETERMINADO (ADMITE INFINITAS SOLUÇÕES) | ||||
| SISTEMA LINEAR | ||||
| IMPOSSÍVEL OU INCOMPATÍVEL (QUANDO NÃO ADMITE SOLUÇÃO) | ||||
Sistemas equivalentes
Dois sistemas lineares S1 e S2 são ditos equivalentes quando admitem o mesmo conjunto solução.
Os sistemas abaixo são equivalentes, pois ambos admitem o par (5, 7) como única solução.
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Desta maneira podemos dizer que para se ter um sistema linear equivalente é só efetuar uma das operações abaixo:
- Permutar duas equações: Ei « Ej com i = 1,…,m e j = 1,…,m;
- Multiplicar uma equação por um número real k diferente de zero: Ei = k * Ei com i = i,…,m;
- Substituir uma equação por sua soma com outra previamente multiplicada por um número real k diferente de zero: Ei = Ei + k * Ej com i = 1,…,m e j = 1,…,m;
Exemplo
Vamos aplicar as propriedades anteriores no sistema linear abaixo:
Este sistema possui como conjunto solução a tripla (1, -3, 2).
| S = | |
|
A primeira propriedade nos diz que se trocarmos as posições de duas equações teremos um novo sistema equivalente ao primeiro.
Então vamos trocar as posições da primeira e da terceira equações; E1 « E3. Logo o novo sistema S1 é equivalente a S. Veremos que se aplicarmos a tripla (1, -3, 2) como solução obteremos uma verdade, ou seja, S1 é equivalente a S.
| S1 = | |
|
A segunda propriedade nos diz que se multiplicarmos uma equação do sistema por um número k qualquer diferente de zero, obteremos um novo sistema equivalente ao original. Vamos multiplicar a terceira equação de S1 por 3, ou seja, E3 = 3 * E3. O novo sistema será:
| S2 = | |
|
Então, S1 é equivalente a S2. Aplicando a tripla (1, -3, 2) como solução nos sistemas S1 e S2 veremos que o resultado será verdadeiro.
Por último foi dito que se substituirmos uma equação por sua soma com outra previamente multiplicada por um número real k diferente de zero também teremos um novo sistema equivalente. Vamos substituir a equação 1 efetuando a seguinte operação: E1 = E1 + 1/2 E2. Obteremos então um novo sistema equivalente ao primeiro.
| S3 = | |
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Logo, S, S1, S2 e S3 são equivalentes.
Escalonamento
Para entendermos o que é escalonamento vamos ver dois exemplos de sistemas escalonados.
| S1 = | |
|
| S2 = | |
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Em primeira mão o que podemos perceber é que a quantidade de variáveis vai diminuindo a cada equação. Note também como fica a matriz aumentada de cada sistema na forma escalonada.
| S = |
|
| T = |
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Para escalonar um sistema é preciso lançar mão de alguns artifícios:
- Trocar a posição de duas ou mais linhas.
- Multiplicar uma linha por um número k qualquer.
- Substituir uma linha por sua soma com outra, estando esta última multiplicada ou não por um número k qualquer.
Exemplo 1
Vamos escalonar e resolver o sistema abaixo:
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Passo 1: Inicialmente, construimos a matriz aumentada do sistema.
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Passo 2: Neste exemplo vamos trocar a posição das linhas 1 e 2. Logo, L1 « L2.
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Passo 3: Fixaremos a linha 1. A partir de agora ela não será mais alterada. Ela será usada para realizar os cálculos com as demais linhas.
L2 ¬ L2 + (-3)L1.
| L2: | 3 | -1 | 1 | 2 |
| -3L1: | -3 | 6 | 3 | 0 |
| 0 | 5 | 4 | 2 |
|
Veja que reduzimos uma variável na linha 2. Agora vamos procurar reduzir o número de variáveis na linha 3. L3 ¬ L3 + (-2)L1.
| L3: | 2 | 1 | 2 | 2 |
| -2L1: | -2 | 4 | 2 | 0 |
| 0 | 5 | 4 | 2 |
|
Eliminamos uma variável na linha 3. Agora fixamos a linha dois e repetimos o processo a fim de diminuir mais uma variável da linha 3. L3 ¬ L3 – L2.
| L3: | 0 | 5 | 4 | 2 |
| -L2: | 0 | -5 | -4 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
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Visto que temos uma linha de zeros, esta pode ser suprimida da matriz sem afetar os cálculos. Assim obtemos o sistema escalonado abaixo:
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|
Veja que o sistema na forma escalonada ficou com duas equações e três variáveis.
z é a variável livre do sistema, então:
5y + 4z = 2 Þ 5y = 2 – 4z Þ
| y = |
|
Substituindo y na primeira equação vem:
| x – 2 |
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– z = 0 Þ |
| x = 2 |
|
+ z Þ |
| x = |
|
Fazendo z = a temos:
|
O sistema é (SPI) possível e indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções.
Sistemas homogêneos
Abaixo temos um sistema linear genérico.
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Quando os termos independentes do sistema são nulos dizemos que o sistema é homogêneo. Um sistema homogêneo genérico possui a seguinte estrutura.
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Nota:
- Um sistema homogêneo será sempre possível, já que possui pelo menos a solução trivial (0,0,…,0).
- Caso o sistema possua apenas a solução trivial ele é dito possível e determinado.
- Caso o sistema possua outras soluções além da trivial, ele é dito possível e indeterminado.
Exemplo
Classifique e resolva o sistema abaixo:
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Vamos construir a matriz dos coeficientes do sistema.
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Agora faremos as operações de linhas.
L2 ¬ L2 + (-6L1).
| L2: | 6 | -5 | 5 |
| -6L1: | -6 | 6 | -12 |
| 0 | 1 | -7 |
L3 ¬ L3 + 4L1.
| L3: | -4 | -3 | 1 |
| 4L1: | 4 | -4 | 8 |
| 0 | -7 | 9 |
A nova matriz dos coeficientes fica assim:
|
Até o momento eliminamos a variável x da primeira e segunda linha. Vamos continuar com o escalonamento e eliminar a variável y da terceira linha.
L3 ¬ L3 + 7L2.
| L3: | 0 | -7 | 9 |
| 7L2: | 0 | 7 | -49 |
| 0 | 0 | -40 |
Agora com a matriz escalonada do sistema é possível escrevermos o sistema homogêneo escalonado.
|
O sistema escalonado fica assim:
|
|
Então, para resolvermos o sistema começamos pela última equação.
-40z = 0
z = 0
Substituimos o valor de z na segunda equação.
y – 7z = 0
y – 7(0) = 0
y = 0
Substituindo os valores de y e z na primeira equação vem:
x – y + 2z = 0
x – 0 + 2(0) = 0
x = 0
Logo, o sistema admite apenas a solução trivial S ={(0,0,0)} sendo classificado como SPD.
Regra de Cramer
A regra de Cramer consiste num método para resolver sistemas lineares quadrados, ou seja, sistemas com n equações e n incógnitas.
Veja um exemplo genérico abaixo:
Este sistema possui três equações e três variáveis.
|
|
Para calcularmos os valores das variáveis através da regra de Cramer seguimos os passos abaixo.
Passo 1: Montamos a matriz dos coeficientes do sistema e calculamos o seu determinante DA.
| A = |
|
Passo 2: Encontrar o valor da variável x. Construimos uma nova matriz de coeficientes a partir da matriz A, mas no lugar da primeira coluna, referente a variável x, colocamos os valores dos termos independentes. Depois calculamos o valor do determinante Dx.
| Ax = |
|
Passo 3: Encontrar o valor da variável y. Construimos uma nova matriz de coeficientes a partir da matriz A, mas no lugar da segunda coluna, referente a variável y, colocamos os valores dos termos independentes. Depois calculamos o valor do determinante Dy.
| Ay = |
|
Passo 4: Encontrar o valor da variável z. Construimos uma nova matriz de coeficientes a partir da matriz A, mas no lugar da terceira coluna, referente a variável z, colocamos os valores dos termos independentes. Depois calculamos o valor do determinante Dz.
| Az = |
|
Desta forma, os valores de x, y e z será:
| x = |
|
| y = |
|
| z = |
|
Portanto, a solução do sistema será
| S = | ‹ |
|
› |
Exemplo 1
Resolver o sistema abaixo usando a regra de Cramer.
|
|
Passo 1: Construimos a matriz incompleta do sistema. E calculamos o seu determinante.
| A = |
|
Det A = -12
Passo 2: Construimos as matrizes das incógnitas. E calculamos o seu determinante.
| Ax1 = |
|
Det Ax1 = -24
Passo 3: Construimos a matriz incompleta da variável x2.
| Ax2 = |
|
Det Ax2 = 12
Passo 4: Construimos a matriz incompleta referente a variável x3 e calculamos o seu determinante.
| Ax3 = |
|
Det Ax3 = 0
Passo 5: Agora faremos o cálculo para encontrar o valor das incógnitas.
| x1 = |
|
= |
|
Logo, x1 = 2.
| x2 = |
|
= |
|
Logo, x2 = -1.
| x3 = |
|
= |
|
O valor de x3 é zero.
| S = | ‹ |
|
› |
O sistema é possível e determinado.
Exemplo 2
Uma certa escola de ensino médio tem 107 alunos nas 1ª e 2ª séries, 74 nas 2ª e 3ª séries e 91 nas 1ª e 3ª. Qual o total de alunos dessa escola?
Vamos montar o sistema da situação usando o seguinte esquema.
x = representará o número de alunos da 1ª série.
y = representará o número de alunos da 2ª série.
z = representará o número de alunos da 3ª série.
|
|
Usando a regra de Cramer vamos encontrar o valor das variáveis.
1º – Montamos a matriz incompleta do sistema e calculamos o seu determinante.
| A = |
|
Det A = 2
2º – Montamos a matriz incompleta referente a variável x e calculamos o seu determinante.
| Ax = |
|
Det Ax = 124.
3º – Montamos a matriz incompleta referente a variável y e calculamos o seu determinante.
| Ay = |
|
Det Ay = 90.
| Az = |
|
Det Az = 58.
4º – Encontramos os valores das variáveis x, y e z.
| x = |
|
= |
|
= | 62 |
| y = |
|
= |
|
= | 45 |
| z = |
|
= |
|
= | 29 |
Então, o total de alunos da escola é x + y + z = 62 + 45 + 29 = 136. Logo, a escola possui 136 alunos.
Discussão de um sistema linear
Discutir um sistema linear é descobrir se ele é SPD, SPI ou SI de acordo com um determinado parâmetro. Para isso podemos utilizar tanto o método de escalonamento quanto a regra de Cramer. Vamos ver alguns exemplos:
Exemplo 1
Determine o valor de p para que o sistema abaixo admita solução única.
|
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Vamos encontrar o determinante da matriz incompleta do sistema.
| A = |
|
Usando a regra de Sarrus encontramos Det A = 2p + 2.
Para que o sistema possua solução única, este deve ser SPD, logo o determinante 2p + 2 deverá ser diferente de zero.
2p + 2 ¹ 0
2p ¹ -2
p ¹ -1
S = {p Î R | p ¹ -1}
Exemplo 2
Discuta em função de m, o sistema abaixo:
|
|
Vamos montar a matriz incompleta do sistema e calcular o seu determinante.
| A = |
|
Usando a regra de Sarrus encontramos o valor de 9 – 3m para o determinante.
Det A = 9 – 3m
Caso o determinante de A seja diferente de zero teremos um sistema SPD. Porém, se o determinante for igual zero teremos um sistema SPI ou SI.
9 – 3m ¹ 0
9 ¹ 3m
m ¹ 3
Então, se m ¹ 3 temos um sistema SPD.
9 – 3m = 0
9 = 3m
m = 3
Se m = 3, temos um sistema SPI ou SI.
Vamos substituir o valor de m no sistema e resolvê-lo pelo método do escalonamento.
|
|
Construimos a matriz aumentada do sistema e efetuamos operações de linha para solucioná-lo.
|
L3 ¬ L3 + L1.
| L3: | -1 | 9 | 1 | -2 |
| L1: | 1 | -3 | 2 | 1 |
| 0 | 6 | 3 | -1 |
|
L3 ¬ L3 + (-3)L2.
| L3: | 0 | 6 | 3 | -1 |
| -3L2: | 0 | -6 | -3 | -9 |
| 0 | 0 | 0 | -10 |
Veja como fica a matriz aumentada.
|
A terceira equação nunca é solucionada, logo o sistema é SI.
Então, para m ¹ 3 temos um SPD e para m = 3 temos um SI.
Análise combinatória
O que você vai estudar:
- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial e permutação
- Arranjos simples
- Combinações simples
Princípio fundamental da contagem (PFC)
A Análise Combinatória é o ramo da matemática que se dedica ao estudo das técnicas de contagem dos elementos de um conjunto, obedecendo a certas regras. Assim como a Cinemática descreve o movimento sem a necessidade de explicar as suas causas. A Análise Combinatória estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado evento sem, necessariamente, descrever todas as possibilidades.
O princípio fundamental da contagem é um conceito fundamental na análise combinatória, que é um ramo da matemática que lida com a contagem e organização de elementos em conjuntos. O princípio fundamental da contagem estabelece que se você tem um evento que pode ser dividido em duas ou mais etapas independentes e você deseja contar o número total de maneiras de realizar o evento completo, então você pode calcular o número total de maneiras de realizar cada etapa e multiplicá-los para obter o resultado final.
Em outras palavras, se você tem n maneiras de realizar a primeira etapa de um evento e m maneiras de realizar a segunda etapa do mesmo evento, então o número total de maneiras de realizar o evento completo é n vezes m.
Por exemplo, se você está escolhendo uma camisa e uma calça para vestir, e você tem 3 camisas diferentes e 4 calças diferentes para escolher, o princípio fundamental da contagem diz que você pode multiplicar o número de maneiras de escolher uma camisa (3 maneiras) pelo número de maneiras de escolher uma calça (4 maneiras) para encontrar o número total de maneiras de escolher um conjunto de roupas. Nesse caso, seriam 3 x 4 = 12 maneiras diferentes de escolher um conjunto de camisa e calça.
Exemplo 1
Temos três cidades X, Y e Z. Existem quatro rodovias que ligam X com Y e cinco que ligam Y com Z. Partindo de X e passando por Y, de quantas formas podemos chegar até Z?
Veja o esquema que representa as rodovias ligando as cidades, X, Y e Z.
Dissemos, na introdução, que a Análise Combinatória se dedica ao estudo das técnicas de contagem dos elementos de um conjunto, certo? Então, podemos extrair dois conjuntos desse problema.
A = {a1,a2,a3,a4}
Representa as rodovias que ligam X e Y.
B = {b1,b2,b3,b4,b5}
Representa as rodovias que ligam Y e Z.
É feito, então, o produto cartesiano entre os conjuntos A e B. Fixamos o primeiro elemento do conjunto A, enquanto variamos os demais.
A x B = {(a1,b1),(a1,b2) … (a4,b5)}
Cada maneira de se deslocar de X até Z pode ser considerado como um par de rodovias (ai,bj), onde ai ∈ A e bj ∈ B;
Logo, teremos 4 x 5 = 20 modos diferentes de sair de X e chegar até Z.
Exemplo 2
Quatro carros disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares?
| 1º lugar | 2º lugar | 3º lugar | Ordem de chegada |
|---|---|---|---|
| carro 1 | carro 2 | carro 3 | c1,c2,c3 |
| carro 4 | c1,c2,c4 | ||
| carro 3 | carro 2 | c1,c3,c2 | |
| carro 4 | c1,c3,c4 | ||
| carro 4 | carro 2 | c1,c4,c2 | |
| carro 3 | c1,c4,c3 | ||
| carro 2 | carro 1 | carro 3 | c2,c1,c3 |
| carro 4 | c2,c1,c4 | ||
| carro 3 | carro 1 | c2,c3,c1 | |
| carro 4 | c2,c3,c4 | ||
| carro 4 | carro 1 | c2,c4,c1 | |
| carro 3 | c2,c4,c3 | ||
| carro 3 | carro 1 | carro 2 | c3,c1,c2 |
| carro 4 | c3,c1,c4 | ||
| carro 2 | carro 1 | c3,c2,c1 | |
| carro 4 | c3,c2,c4 | ||
| carro 4 | carro 1 | c3,c4,c1 | |
| carro 2 | c3,c4,c2 | ||
| carro 4 | carro 1 | carro 2 | c4,c1,c2 |
| carro 3 | c4,c1,c3 | ||
| carro 2 | carro 1 | c4,c2,c1 | |
| carro 3 | c4,c2,c3 | ||
| carro 3 | carro 1 | c4,c3,c1 | |
| carro 2 | c4,c3,c2 |
Decidimos, aqui, listar todas as possibilidades através de uma tabela. Veja que, para o primeiro lugar, temos 4 possibilidades (qualquer carro pode chegar no primeiro lugar); para o segundo lugar, temos 3 possibilidades, já que um dos carros já ocupou o primeiro lugar; para o terceiro lugar, temos 2 possibilidades, visto que as outras duas já foram preenchidas. Portanto, temos um total de 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades.
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que:
p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa
p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa
.
.
.
pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa;
então, p1 . p2 … pk é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer.
Vejamos mais dois exemplos.
Exemplo 3
Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox e Oy. Ele pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias ele pode percorrer se der exatamente 4 passos?
Pelo gráfico, podemos notar que cada trajetória é composta pela quádrupla-ordenada {a1,a2,a3,a4} onde a1 ∈ {N,L}, a2 ∈ {N,L}, a3 ∈ {N,L}, a4 ∈ {N,L}.
Visto que a trajetória é composta de 4 passos, cada passo se torna uma etapa. Logo, temos 2 • 2 • 2 • 2 = 16 possibilidades, já que para cada passo temos duas possibilidades.
Exemplo 4
Durante um exercício da marinha de guerra, empregam-se sinais luminosos para transmitir palavras por meio de código Morse. Esse código só emprega dois sinais: ponto e traço. As palavras transmitidas tinham de um a seis sinais. Qual o número de palavras que podiam ser transmitidas?
| Qtde | Letras/palavra | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 |
|
||||||
| 2² |
|
||||||
| 2³ |
|
||||||
| 24 |
|
||||||
| 25 |
|
||||||
| 26 |
|
De acordo com o problema, as palavras podem ter de um a seis sinais. Exemplos de palavras: •, – •, • • – -.
A formação de uma palavra com apenas um sinal possui 1 etapa.
A formação de uma palavra com dois sinais possui 2 etapas.
.
.
.
A formação de uma palavra com seis sinais possui 6 etapas.
Para sabermos o total de palavras que podemos formar somamos, 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126. Portanto, o número de palavras que podem ser transmitidas é de 126.
Arranjos simples
Arranjo simples é uma forma de organizar ou agrupar elementos de um conjunto. Nesse tipo de técnica, os elementos são distintos, ou seja, não se repetem, e um grupo pode ser diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos.
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo simples dos n elementos, tomados p a p (n ≥ p), a qualquer sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
| An,p | = |
|
Exemplo 1
Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5 e 7, sem repeti-los?
Pelo princípio fundamental da contagem temos 6 elementos e 3 posições.
| 6 | 5 | 4 |
Visto que não podemos repetir algarismos; para a primeira posição, podemos utilizar qualquer um dos 6 números; para a segunda posição, podemos usar apenas 5 dos números, já que utilizamos um para a primeira posição; para a terceira posição, temos 4 possibilidades, pois já reservamos 2 números.
Portanto, pelo processo multiplicativo, temos:
6 • 5 • 4 = 120
Podemos, assim, formar 120 números.
Pelo método de arranjo
| An,p | = |
|
| A6,3 | = |
|
|
= |
|
3! no numerador pode ser cortado com 3! no denominador. Assim, ficamos com 6 • 5 • 4 = 120.
Exemplo 2
Ao se cadastrar em um portal eletrônico de compras, o usuário deve criar uma senha formada por duas letras distintas (entre as 26 do alfabeto) seguidas por dois algarismos distintos. Quantas senhas podem ser criadas nessas condições?
Vamos dividir o processo de resolução em duas etapas.
1ª etapa: escolha das letras
Devemos escolher 2 letras entre as 26 disponíveis. Temos A26,2.
| A26,2 | = |
|
| A26,2 | = |
|
= 650 |
2ª etapa: escolha dos algarismos.
Devemos escolher 2 algarismos entre os 10 disponíveis. Temos um arranjo A10,2.
| A10,2 | = |
|
| A10,2 | = |
|
= 90 |
A escolha da senha é um processo composto por duas etapas: escolha das duas letras e a escolha dos dois algarismos. Portanto, A26,2 • A10,2.
A26,2 • A10,2 = 650 • 90 = 58.500.
Exemplo 3
Quantos números formados por 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8 e 9 contêm o 2 e não contêm o 6?
O algarismo 2 pode aparecer na 1ª, 2ª ou 3ª posição. E, além disso, não deverá incluir o algarismo 6.
| 2 |
| 2 |
| 2 |
Portanto, teremos 3 • A3,2. Isso porque teremos fixado o algarismo; 2 e dos 4 algarismos restantes, devemos excluir o 6, ficando com 3 algarismos.
3 • A3,2 = 3 • 3! ÷ (3 – 2)! = 3 • 3! = 3 • 6 = 18
Exemplo 4
Um casal, procurando um nome para o filho que nasceria em dois meses, relacionou cem nomes em uma lista. Quantas são as possibilidades, se o casal pode escolher entre um só nome ou um nome composto (2 nomes)?
• Escolher um só nome:
Existem 100 possibilidades.
• Escolher um nome composto:
Escolher 2 nomes entre os 100 disponíveis.
| A100,2 | = |
|
= 9.900 |
O total de possibilidades é 9.900 + 100 = 10.000.
Exemplo 5
Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco com cinco lugares. De quantas maneiras diferentes podem se sentar, nunca ficando em pé a mulher?
| M |
| M |
| M |
| M |
| M |
Veja todas as posições em que a mulher poderá estar. Fixando a mulher numa posição, teremos 5 homens para 4 posições; portanto:
5 • A5,4 = 600