Livro de Matemática
Sumário
Cofator
O Cofator de um elemento aij qualquer de uma matriz é o número real obtido ao se multiplicar (-1)i+j * Dij.
Cij = (-1)i+j * Dij, esta é a fórmula que retorna o Cofator de um elemento aij. De estudos anteriores sabemos que Dij retorna o menor complementar quando eliminamos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Desta forma, dada a matriz
| A = |
|
O cofator C11 será C11 = (-1)1+1 * D11.
| C11 = (-1)1+1 * |
|
Já o cofator C23 será C23 = (-1)2+3 * D23.
| C23 = (-1)2+3 * |
|
Note que o termo (-1)i+j ora será positivo, ora negativo.
Exemplo
Considerando a matriz A abaixo, vamos encontrar os valores de C11 e C23.
| A = |
|
Utilizando a fórmula Cij = (-1)i+j * Dij temos:
C11 = (-1)1+1 * D11. D11 é encontrado eliminando-se a primeira linha e primeira coluna da matriz dada. Desta forma ficamos com
| C11 = (-1)1+1 * |
|
C11 = 1 * (6*4 – 0*3) = 24
Para o cofator C23 temos C23 = (-1)2+3 * D23.
| C23 = (-1)2+3 * |
|
C23 = -1 * (1*3 – 2*0) = -3
Regra de Sarrus
A regra de Sarrus é utilizada em matrizes de ordem 3. Dada uma matriz A
| A = |
|
O determinante de A pode ser calculado repetindo a primeira e segunda colunas à direita da matriz conforme o esquema abaixo:
|
Agora multiplicamos em diagonal os elementos selecionados.
|
Então o determinante da matriz A é det A = a11*a22*a33 + ( vamos para o passo abaixo).
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det A = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + …
|
det A = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32
|
det A = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 – a13*a22*a31
|
det A = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 – a13*a22*a31 – a11*a23*a32
|
det A = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 – a13*a22*a31 – a11*a23*a32 – a12*a21*a33
Note que os elementos com fundo laranja possuem sinal positivo, enquanto que aqueles marcados com fundo azul recebem sinal negativo. Veja abaixo o esquema completo.
det A = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 – a13*a22*a31 – a11*a23*a32 – a12*a21*a33
Exemplo 1
Calcular o determinante da matriz M.
| M = |
|
Usando a regra de Sarrus, vem:
Então o determinante da matriz M é det M = 1 * 2 * (-2) + (-1) * 5 * 7 + 3 * 4 * 0 – 3 * 2 * 7 – 1 * 5 * 0 – (-1) * 4 * (-2).
det M = -4 + (-35) + 0 – 42 – 0 – 8 = -89
Exemplo 2
Resolva a equação
|
= 15 |
O processo será o mesmo do exemplo anterior. Aplicaremos a regra de Sarrus repetindo a primeira e segunda colunas.
A regra de Sarrus fornece o determinante da matriz de ordem 3. logo, det = 2 * 1 * 1 + 3 * x * 2 + 1 * x * 0 – 1 * 1 * 2 – 2 * x * 0 – 3 * x * 1. Porém o determinante já foi dado, e seu valor é 15. Então, 2 * 1 * 1 + 3 * x * 2 + 1 * x * 0 – 1 * 1 * 2 – 2 * x * 0 – 3 * x * 1 = 15.
2 + 6x + 0 – 2 – 0 – 3x = 15
3x = 15
x = 5 \ S = {5}
Teorema de Laplace
O teorema de Laplace retorna o determinante de uma matriz de ordem n. Desta forma podemos calcular através desta ferramenta o determinante de matrizes de ordem maior ou igual a 2. Para usarmos o teorema de Laplace escolhemos arbitrariamente, uma linha ou coluna da matriz de ordem n. Daí, somamos os produtos dos elementos dessa linha ou coluna pelos respectivos cofatores.
Vamos ver um exemplo genérico. Dada a matriz A de ordem 4.
| A = |
|
O determinante de A pode ser calculado escolhendo-se uma linha ou coluna de A. Caso escolhamos a linha 3 o determinante de A será:
det A = a31*C31 + a32*C32 + a33*C33 + a34*C34.
Mas, se escolhermos a coluna 2 o determinante de A será:
det A = a12*C12 + a22*C22 + a32*C32 + a42*C42.
Exemplo 1
Calcule o determinante da matriz A pelo método de Laplace.
| A = |
|
Afim de comprovar que escolhendo-se tanto uma linha quanto uma coluna o resultado do determinante será o mesmo, escolheremos trabalhar com a linha 1 e a coluna 2.
Determinante de A escolhendo a linha 1:
det A = a11*C11 + a12*C12 + a13*C13
| C11 = (-1)1+1 * |
|
C11 = 1 * [3 * 5 – 1 * (-2)] = 17
| C12 = (-1)1+2 * |
|
C12 = -1 * [(-2) * 5 – 1 * 4] = 14
| C13 = (-1)1+3 * |
|
C13 = 1 * [(-2) * (-2) – 3 * 4] = -8
det A = 0 * 17 + 3 * 14 + 0 * (-8) = 42
Determinante de A escolhendo a coluna 2:
det A = a12*C12 + a22*C22 + a32*C32
| C12 = (-1)1+2 * |
|
C12 = -1 * [(-2) * 5 – 1 * 4] = 14
| C22 = (-1)2+2 * |
|
C22 = 1 * [0 * 5 – 0 * 4] = 0
| C32 = (-1)3+2 * |
|
C32 = -1 * [0 * 1 – 0 * (-2)] = 0
det A = 3 * 14 + 3 * 0 + (-2) * 0 = 42
Veja que o resultado do determinante foi o mesmo. Portanto, a escolha de qualquer linha ou coluna não interfere no resultado.
Exemplo 2
(UFSC) Dada a matriz A de ordem 4 calcule o seu determinante.
| A = |
|
Lembre-se de que podemos escolher qualquer linha ou coluna para efetuar o cálculo do determinante. É mais conveniente escolher a coluna 4, visto que possui mais zeros.
det A = a14*C14 + a24*C24 + a34*C34 + a44*C44
det A = 0 * C14 + 0 * C24 + 0 * C34 + 2 * C44
Então, det A = 2 * C44
| C44 = (-1)4+4 * |
|
Veja que temos como menor complementar uma matriz de ordem 3. Aplicando a regra de Sarrus encontramos o valor 35 para o seu determinante. Logo, C44 = 1 * 35 = 35.
det A = 2 * C44
det A = 2 * 35 = 70
Propriedades dos determinantes
As propriedades descritas abaixo tem por objetivo facilitar os cálculos com determinantes. Vale lembrar que estas propriedades de aplicam a matrizes de qualquer ordem.
1ª Propriedade
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem nulos, o seu determinante será zero.
| M = |
|
= 0 |
2ª Propriedade
Se 2 linhas ou 2 colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, seu determinante será nulo.
| D = |
|
= 0 |
3ª Propriedade
Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada for combinação linear de outras linhas ou colunas, seu determinante será nulo.
| C = |
|
= 0 |
A linha 3 é resultado da soma da linha 1 com a linha 2.
4ª Propriedade
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta At.
5ª Propriedade
Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz será o oposto do determinante da primeira matriz.
| N = |
|
= 44 |
Trocando de posição a segunda e a terceira linhas obtemos a matriz P.
| P = |
|
= -44 |
6ª Propriedade
Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna por um número real k, então o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante da primeira matriz.
| A = |
|
= -6 |
Vamos multiplicar a segunda linha por 3. Assim obteremos a matriz R.
| R = |
|
= -18 |
Logo, o determinante de R é 3 vezes o determinante de A, ou seja, det R = 3 * det A.
det R = 3 * (-6) = -18
7ª Propriedade
Se todos os elementos de uma matriz quadrada situados de um mesmo lado da diagonal principal forem nulos, então o determinante da matriz será igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
| M = |
|
= 20 |
det M = 1 * 5 * 4 = 20
Sistemas Lineares
O que você vai estudar:
- Equação linear
- Sistema linear
- Classificação de um sistema linear
- Sistemas equivalentes e escalonamento
- Sistemas homogênios
- Regra de Cramer
- Discussão de um sistema linear
Equação linear
Uma equação linear é toda equação que segue a seguinte estrutura a1x1 + a2x2 + … + anxn = b.
Da equação dada podemos dizer que:
a1, a2, … , an são coeficientes.
x1, x2, … , xn são as incógnitas.
b é o termo independente.
Exemplo:
- 2x1 – 3x2 + x3 = 5
- 4x – 3y + z = 0
Nota:
- Todas as incógnitas apresentam somente expoente igual a 1. Desta forma, a equação 3x2 + 2x = – 3 não é linear.
- Equações do tipo a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, com b = 0, são ditas homogêneas.
- A solução de uma equação linear a n incógnitas é a sequência de números reais ou ênupla (a1,a2, …, an), que, colocados respectivamente, no lugar das variáveis x1, x2, … , xn tornam a igualdade a1x1 + a2x2 + … + anxn = b uma verdade.
- Duas equações são equivalentes quando têm as mesmas soluções em um mesmo conjunto universo.
Exemplo 1
Dada a equação linear x + 3y + 5z = 16, encontrar uma de suas soluções.
Atribuindo valores arbitrários para x e y, vamos encontrar o valor de z.
x = 2 e y = 3
x + 3y + 5z = 16
2 + 3(3) + 5z = 16
11 + 5z = 16
5z = 16 – 11
5z = 5
z = 1
Logo uma das soluções da equação é a tripla ordenada(2, 3, 1).
Exemplo 2
Determine m para que (-1, 1, -2) seja solução da equação mx + y – 2z = 6.
Se (-1, 1, -2) é solução da equação mx + y – 2z = 6, então substituimos os valores de x, y e z.
-m + 1 -2(-2) = 6
-m + 5 = 6
-m = 1
m = -1
Sistema linear
Você com certeza deve se lembrar dos sistemas abaixo, não é?
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Estes sistemas apresentam duas equações e duas variáveis, x e y. Um sistema linear é muito mais robusto, pois possui m equações e n variáveis.
Um sistema linear possui a seguinte estrutura.
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Matrizes associadas a um sistema
Não sei se você percebeu, mas na matemática tudo parece estar interligado. Observe o sistema linear acima. Ele pode ser representado por matrizes. Podemos fazer isso de duas maneiras. A primeira é montando a matriz incompleta do sistema.
| A = |
|
A segunda maneira é montar a matriz aumentada do sistema. Neste modelo acrescentamos a coluna dos termos independentes.
| A = |
|
Exemplo
Represente o sistema abaixo na forma de matrizes.
|
|
Primeiro vamos construir a matriz incompleta do sistema. Nela usamos apenas o coeficientes.
| A = |
|
Agora construimos a matriz aumentada do sistema acrescentando a coluna dos termos independentes.
| B = |
|
Representação matricial de um sistema linear
Dado um sistema linear genérico:
|
|
A sua representação matricial é dada da seguinte maneira.
|
* |
|
= |
|
A nova estrutura é composta pela matriz dos coeficientes multiplicada pela matriz coluna das variáveis tendo como resultado a matriz coluna dos termos independentes. Efetuando a operação chegamos ao sistema linear original.
Classificação de um sistema linear
Um sistema linear pode ser classificado de acordo com o seu número de soluções. Se um sistema linear possuir apenas uma solução ele é dito DETERMINADO. Ele também pode ser classificado como INDETERMINADO se possuir infinitas soluções. Caso o sistema não apresente solução alguma ele é dito IMPOSSÍVEL.
| SISTEMA LINEAR | |||||||
| POSSÍVEL OU COMPATÍVEL (QUANDO ADMITE SOLUÇÃO) | IMPOSSÍVEL OU INCOMPATÍVEL (QUANDO NÃO ADMITE SOLUÇÃO) | ||||||
| DETERMINADO (ADMITE UMA ÚNICA SOLUÇÃO) | INDETERMINADO (ADMITE INFINITAS SOLUÇÕES) | ||||||
| DETERMINADO (ADMITE UMA ÚNICA SOLUÇÃO) | ||||
| POSSÍVEL OU COMPATÍVEL (QUANDO ADMITE SOLUÇÃO) | ||||
| INDETERMINADO (ADMITE INFINITAS SOLUÇÕES) | ||||
| SISTEMA LINEAR | ||||
| IMPOSSÍVEL OU INCOMPATÍVEL (QUANDO NÃO ADMITE SOLUÇÃO) | ||||
Sistemas equivalentes
Dois sistemas lineares S1 e S2 são ditos equivalentes quando admitem o mesmo conjunto solução.
Os sistemas abaixo são equivalentes, pois ambos admitem o par (5, 7) como única solução.
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|
|
Desta maneira podemos dizer que para se ter um sistema linear equivalente é só efetuar uma das operações abaixo:
- Permutar duas equações: Ei « Ej com i = 1,…,m e j = 1,…,m;
- Multiplicar uma equação por um número real k diferente de zero: Ei = k * Ei com i = i,…,m;
- Substituir uma equação por sua soma com outra previamente multiplicada por um número real k diferente de zero: Ei = Ei + k * Ej com i = 1,…,m e j = 1,…,m;
Exemplo
Vamos aplicar as propriedades anteriores no sistema linear abaixo:
Este sistema possui como conjunto solução a tripla (1, -3, 2).
| S = | |
|
A primeira propriedade nos diz que se trocarmos as posições de duas equações teremos um novo sistema equivalente ao primeiro.
Então vamos trocar as posições da primeira e da terceira equações; E1 « E3. Logo o novo sistema S1 é equivalente a S. Veremos que se aplicarmos a tripla (1, -3, 2) como solução obteremos uma verdade, ou seja, S1 é equivalente a S.
| S1 = | |
|
A segunda propriedade nos diz que se multiplicarmos uma equação do sistema por um número k qualquer diferente de zero, obteremos um novo sistema equivalente ao original. Vamos multiplicar a terceira equação de S1 por 3, ou seja, E3 = 3 * E3. O novo sistema será:
| S2 = | |
|
Então, S1 é equivalente a S2. Aplicando a tripla (1, -3, 2) como solução nos sistemas S1 e S2 veremos que o resultado será verdadeiro.
Por último foi dito que se substituirmos uma equação por sua soma com outra previamente multiplicada por um número real k diferente de zero também teremos um novo sistema equivalente. Vamos substituir a equação 1 efetuando a seguinte operação: E1 = E1 + 1/2 E2. Obteremos então um novo sistema equivalente ao primeiro.
| S3 = | |
|
Logo, S, S1, S2 e S3 são equivalentes.
Escalonamento
Para entendermos o que é escalonamento vamos ver dois exemplos de sistemas escalonados.
| S1 = | |
|
| S2 = | |
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Em primeira mão o que podemos perceber é que a quantidade de variáveis vai diminuindo a cada equação. Note também como fica a matriz aumentada de cada sistema na forma escalonada.
| S = |
|
| T = |
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Para escalonar um sistema é preciso lançar mão de alguns artifícios:
- Trocar a posição de duas ou mais linhas.
- Multiplicar uma linha por um número k qualquer.
- Substituir uma linha por sua soma com outra, estando esta última multiplicada ou não por um número k qualquer.
Exemplo 1
Vamos escalonar e resolver o sistema abaixo:
|
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Passo 1: Inicialmente, construimos a matriz aumentada do sistema.
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Passo 2: Neste exemplo vamos trocar a posição das linhas 1 e 2. Logo, L1 « L2.
|
Passo 3: Fixaremos a linha 1. A partir de agora ela não será mais alterada. Ela será usada para realizar os cálculos com as demais linhas.
L2 ¬ L2 + (-3)L1.
| L2: | 3 | -1 | 1 | 2 |
| -3L1: | -3 | 6 | 3 | 0 |
| 0 | 5 | 4 | 2 |
|
Veja que reduzimos uma variável na linha 2. Agora vamos procurar reduzir o número de variáveis na linha 3. L3 ¬ L3 + (-2)L1.
| L3: | 2 | 1 | 2 | 2 |
| -2L1: | -2 | 4 | 2 | 0 |
| 0 | 5 | 4 | 2 |
|
Eliminamos uma variável na linha 3. Agora fixamos a linha dois e repetimos o processo a fim de diminuir mais uma variável da linha 3. L3 ¬ L3 – L2.
| L3: | 0 | 5 | 4 | 2 |
| -L2: | 0 | -5 | -4 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
|
Visto que temos uma linha de zeros, esta pode ser suprimida da matriz sem afetar os cálculos. Assim obtemos o sistema escalonado abaixo:
|
|
Veja que o sistema na forma escalonada ficou com duas equações e três variáveis.
z é a variável livre do sistema, então:
5y + 4z = 2 Þ 5y = 2 – 4z Þ
| y = |
|
Substituindo y na primeira equação vem:
| x – 2 |
|
– z = 0 Þ |
| x = 2 |
|
+ z Þ |
| x = |
|
Fazendo z = a temos:
|
O sistema é (SPI) possível e indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções.
Sistemas homogêneos
Abaixo temos um sistema linear genérico.
|
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Quando os termos independentes do sistema são nulos dizemos que o sistema é homogêneo. Um sistema homogêneo genérico possui a seguinte estrutura.
|
|
Nota:
- Um sistema homogêneo será sempre possível, já que possui pelo menos a solução trivial (0,0,…,0).
- Caso o sistema possua apenas a solução trivial ele é dito possível e determinado.
- Caso o sistema possua outras soluções além da trivial, ele é dito possível e indeterminado.
Exemplo
Classifique e resolva o sistema abaixo:
|
|
Vamos construir a matriz dos coeficientes do sistema.
|
Agora faremos as operações de linhas.
L2 ¬ L2 + (-6L1).
| L2: | 6 | -5 | 5 |
| -6L1: | -6 | 6 | -12 |
| 0 | 1 | -7 |
L3 ¬ L3 + 4L1.
| L3: | -4 | -3 | 1 |
| 4L1: | 4 | -4 | 8 |
| 0 | -7 | 9 |
A nova matriz dos coeficientes fica assim:
|
Até o momento eliminamos a variável x da primeira e segunda linha. Vamos continuar com o escalonamento e eliminar a variável y da terceira linha.
L3 ¬ L3 + 7L2.
| L3: | 0 | -7 | 9 |
| 7L2: | 0 | 7 | -49 |
| 0 | 0 | -40 |
Agora com a matriz escalonada do sistema é possível escrevermos o sistema homogêneo escalonado.
|
O sistema escalonado fica assim:
|
|
Então, para resolvermos o sistema começamos pela última equação.
-40z = 0
z = 0
Substituimos o valor de z na segunda equação.
y – 7z = 0
y – 7(0) = 0
y = 0
Substituindo os valores de y e z na primeira equação vem:
x – y + 2z = 0
x – 0 + 2(0) = 0
x = 0
Logo, o sistema admite apenas a solução trivial S ={(0,0,0)} sendo classificado como SPD.